冪集公理

在數學中，冪集公理是公理化集合論的Zermelo-Fraenkel公理之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言中，這個公理讀做：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)}$

或簡寫為：

${\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A}$

換句話說：

給定任何集合A，有著一個集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$使得，給定任何集合x，x是${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$的成員，若且唯若x是A的子集。

通過外延公理可知這個集合是唯一的。我們可以稱集合${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$是A的冪集。所以這個公理的本質是：

所有集合都有一個冪集。

冪集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論的公理化中。

推論

冪集公理允許定義兩個集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的笛卡兒積：

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}$。

笛卡兒積是個集合因為

${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$。

你可以遞歸定義集合的任何有限的搜集的笛卡兒積：

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}}$。

注意笛卡兒積的存在性在不包含冪集公理的Kripke-Platek集合論（英語：Kripke–Platek set theory）中是可證明的。

引用

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

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注釋