譜 (泛函分析)
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在數學中,特別是在泛函分析中,有界算子的譜是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說,對於有界線性算子T,如果T-λI不可逆,其中I是恆等算子,則複數λ會被認為屬於T的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論,其具有許多應用,最值得注意的是量子力學的數學表述。
此條目需要補充更多來源。 (2017年2月11日) |
有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合。然而,無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素,並且可能沒有特徵值。例如,考慮希爾伯特空間ℓ2上的右移算子R,
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該算子沒有特徵值,因為如果Rx=λx,則通過展開表達式可以得到x1=0,x2=0……另一方面,0在譜中,因為算子R-0(即R自身)不可逆:因為第一項非零的任意向量不在它的值域中,所以它不是滿射。事實上,複巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜。
譜的概念可以擴展到稠定無界算子。在這種情況下,複數λ被認為是在算子T:D→X(其中D在X中稠密)的譜中,如果沒有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是閉算子(包括T是有界算子的情形),逆的有界性可由逆的存在性直接得到。
巴拿赫空間X上的有界線性算子B(X)是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外,譜的定義沒有涉及B(X)的任何性質,所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。