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平面上有限點若不全共線,則有直線過恰好兩點 来自维基百科,自由的百科全书
西爾維斯特–高洛伊定理(Sylvester–Gallai theorem)說明若在平面上有有限數目的點,點的數目多於2,如果過任意兩點的直線都必過第三點,則所有的點共線。(等價於若平面內所有點不全共線,則必有一條直線恰好過兩點。)
以下使用無窮遞降法:
這個定理說明了在所有點至少有一條線有剛好兩點。在甚麼情況下,只有一條線有剛好兩點呢?沒有的這樣的例子。Dirac猜想在平面上若有n點,則有至少有n/2條線有剛好兩點。[1]
可惜這個猜想是不對的。但截至2006年,已知有兩個反例:
雖然Dirac的猜想不對,但有較弱的結果:在n點中,至少有條線剛好有兩點通過。[3]
Beck定理則說明了,存在常數C,K,使以下其中一個論述為真:
1893年,詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將此問題提出[4]。艾狄胥·帕爾也曾在1943年獨立提出這個定理。[5]1944年高洛伊·蒂博爾發表了證明[6]。 不過,1940年E. Melchior已證明了。[7]
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