共線 (幾何)

此條目介紹的是幾何學的性質。關於共線的其他用法，請見「共線」。

在幾何學中，共線是指點在空間中的一種關係，表示一系列點落在同一條直線上的性質^{[註 1]}，也就是說，若有一系列點都位於一條直線上則可以稱那一系列的點共線^[7]。廣義上來說，這個詞彙可用於所有排成一直線的物體上，即我們常說的「在同一列」以及「在同一行」。

點的共線

在所有的幾何學中一系列的點位於同一條直線上就是共線^{[註 1][6]}，在平面幾何（歐式幾何）中會直接假設為這些點落在一條筆直的直線上，然而，大部分的幾何（含歐式幾何）中，線，是一種原始（未經定義）的一類物件（英語：Primitive notion），因此這個假設未必是恰當的。一個幾何模型對點、線和其他類型的物件與另一個物件之間的關係給出了解釋，物件間的共線關係可以藉由該模型解釋。例如在球面幾何學中，標準的模型是將線描繪成球面上半徑最大的圓形，共線的點集就會落在這個大圓上。然而在以平面幾何的觀點來看，這些點並沒有位於「筆直的線」上，也不像是排成一行。

幾何上，線到線的映射稱為直射，它保留了共線的特性。向量空間的線性映射在幾何學中看起來就是線到線的映射。

幾何上的共線

三角形

所有三角形與之相關的點集將共線：

• 三角形的垂心、外心、重心、艾希特點（英語：Exeter point）、德朗香點（英語：de Longchamps point）、九點圓心共線於歐拉線。
• 也有其他點與德朗香點（英語：de Longchamps point）共線在相異於歐拉線的直線^{[8][9][10][11]}。

四邊形

• 若一個凸四邊形ABCD，將邊延長至對邊相交，並令交點為E和F，則線段AC、BD和EF的中點將共線，而這條線稱為牛頓線（英語：Newton_line）^[12]。
• 凸四邊形的重心G、準垂心（英語：en:Quadrilateral#Remarkable points and lines in a convex quadrilateral）H和準外心（英語：quasicircumcenter）O共線，且HG = 2GO^[13]。

參見

• 共面
• 共線方程

註釋

1. 這個概念基本上適用於所有幾何學^[2]，但是經常只討論了於球面幾何學的定義^[4][6]

參考文獻

1. Dembowski, Peter, Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
2. Dembowski (1968，pg. 26)^[1]
3. Coxeter, H. S. M., Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 0-471-50458-0
4. Coxeter (1969，pg. 168)^[3]
5. Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J., Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59787-0
6. Brannan, Esplen & Gray (1998，pg.106)^[5]
7. Colinear (Merriam-Webster dictionary). merriam-webster. [2016-07-18]. （原始內容存檔於2019-05-28）.
8. Kimberling, Clark, X(20) = de Longchamps point, Encyclopedia of Triangle Centers, [2012-09-06], （原始內容存檔於2012-04-19）.
9. Vandeghen, A., Mathematical Notes: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle, The American Mathematical Monthly, 1964, 71 (2): 176–179, MR 1532529, doi:10.2307/2311750.
10. Coxeter, H. S. M., Some applications of trilinear coordinates, Linear Algebra and its Applications, 1995,, 226/228: 375–388, MR 1344576, doi:10.1016/0024-3795(95)00169-R. See in particular Section 5, "Six notable points on the Euler line", pp. 380–383.
11. Longuet-Higgins, Michael, A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle, The Mathematical Intelligencer, 2000, 22 (1): 54–59, MR 1745563, doi:10.1007/BF03024448.
12. Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 15.
13. Myakishev, Alexei, On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2006, 6: 289–295 [2016-08-09], （原始內容存檔 (PDF)於2019-12-31）