群子集的乘積
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其中,S和T不必然需要是子群。其乘積的結合律源自群的結合律。因此,群子集的乘積定義出了一個於G冪集上的自然么半群結構。
即使S和T為G的子群,其乘積也不必然會是個子群。其乘積為子群若且唯若ST = TS。在這一情形之下,ST會是個由S和T生成出的群,即ST = TS = <S ∪ T>。若S或T有一是G的正規子群,上述情形便會滿足,ST會是個子群。設S是正規子群,則根據第二同構定理,S ∩ T是T的正規子群且ST/S 同構於 T/(S ∩ T)。
若G為一有限群,且S和T為G的子群,則ST的元素個數可由乘積公式給定:
即使S和T都不是正規子群,上述公式也一樣適用。
特別地,如果S和T的交集僅為單位元,那麼ST的每一個元素都可以唯一地表示為乘積st,其中s位於S內,t位於T內。如果 S和T還是可交換的,那麼ST就是一個群,稱為扎帕-塞普乘積。更進一步,如果S或T在ST中正規,那麼ST便稱為半直積。最後,如果S和T都在ST中正規,那麼ST便稱為直積。