主條目:環的直積
給定數個環
,可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積:
可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法:
![{\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73004c6d93e3348d1ea7d78094f3a57e740ee988)
這使得
構成一個環。稱為
的直積( Direct product );它的法單位元是
乘法單位元是
這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。
給定一個環
,可以考慮以這個環作為係數、大小為
的矩陣:
同樣可以仿照一般的矩陣運算規則,為這個集合定義加法和乘法:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029c19994d8f15d6180811ad68e8a054647612f3)
那麼
在這樣的運算規則下,構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 :
乘法單位元則是單位矩陣 :
同樣的,可以考慮任何環
的矩陣環
。矩陣環也是典型的非交換環。