在數學 中,測度 是一種將幾何空間 的度量 (長度 、面積 、體積 )和其他常見概念(如大小 、質量 和事件 的概率 )廣義化 後產生的概念。傳統的黎曼積分 是在區間 上進行的,為了把積分推廣到更一般的集合上,人們就發展出測度的概念。一個特別重要的例子是勒貝格測度 ,它從
n
{\displaystyle n}
維歐式空間
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
出發,概括了傳統長度、面積和體積等等的概念。
測度具有單調性 ,如果集合 A是集合B的子集 ,那麼集合A的測度小於或等於集合B的測度。此外空集 的測度為0。例如體積(物體所占據的空間的大小)就是一種測度。
研究測度的學問被統稱為測度論 ,因為指定的數值通常是非負實數 ,所以測度論通常會被視為實分析 的一個分支,它在數學分析 和概率論 有重要的地位。
定義 —
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma )}
為可測空間 ,函數
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}
若滿足:
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
(空集合的測度為零)
可數可加性 (
σ
{\displaystyle \sigma }
-可加性): 若集合序列
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
對所有不相等正整數
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
都有
E
i
∩
E
j
=
∅
{\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }
,則
μ
(
⋃
n
∈
N
E
n
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
E
n
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}
。
那
μ
{\displaystyle \mu }
被稱為定義在
Σ
{\displaystyle \Sigma }
上的一個非負測度 ,或簡稱為測度 。為了敘述簡便起見,也可稱
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
為一測度空間 。
直觀上,測度是「體積」的推廣;因為空集合的「體積」當然為零,而且互相獨立的一群(可數個)物體,總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總(的極限)。而要定義「體積」,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ -代數 。
如果將
μ
{\displaystyle \mu }
的值域擴展到複數 ,也就是說
μ
:
Σ
→
C
{\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }
,那
μ
{\displaystyle \mu }
會被進一步稱為複數測度 。[ 1]
直觀上,因為測度的單調性,只要包含於零測集的集合,也「應該」是零測集,完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的,任意測度可以按如下的定理擴展為完備測度:[ 3]
定理 —
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
是測度空間 ,若取:
Σ
⋆
:=
{
S
|
(
S
⊆
X
)
∧
(
∃
A
)
(
∃
B
)
{
(
A
,
B
∈
Σ
)
∧
(
A
⊆
S
⊆
B
)
∧
[
μ
(
B
−
A
)
=
0
]
}
}
{\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}}
那
Σ
⋆
{\displaystyle \Sigma ^{\star }}
是一個Σ-代數 ,此時若定義:
μ
⋆
:=
{
⟨
S
,
r
⟩
|
(
S
⊆
X
)
∧
(
∃
A
)
(
∃
B
)
{
(
A
,
B
∈
Σ
)
∧
(
A
⊆
S
⊆
B
)
∧
[
μ
(
B
−
A
)
=
0
]
∧
[
r
=
μ
(
A
)
]
}
}
{\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}}
那
μ
⋆
{\displaystyle \mu ^{\star }}
是定義在
Σ
⋆
{\displaystyle \Sigma ^{\star }}
上的完備測度,且有:
(
∀
S
∈
Σ
)
[
μ
⋆
(
S
)
=
μ
(
S
)
]
{\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]}
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Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
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