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運算 来自维基百科,自由的百科全书
數學中,尤其是在基本計算裏,除法可以看成是「乘法的反運算」,也可以理解為「重複的減法」。除法運算的本質就是「把參與運算的除數變為,得出同比的被除數的值」。
例如:,就好像, ,被減了兩次後,就變成了。
如果
其中,a稱為商數,b稱為除數,c稱為被除數。
如果除式的商數()必須是整數,則稱為帶餘除法,與相差的數值,稱為餘數()。
這也意味著
在高等數學(包括在科學與工程學中)和計算機程式語言中,寫成。如果我們不需要知道確切值或者留待以後引用,這種形式也常常是稱之為分數的最終形式。其中尋找商數的函數為,尋找餘數的函數則為。
整除是數學中兩個自然數之間的一種關係。自然數可以被自然數整除,是指是的因數,且a是b的整數倍數,也就是除以沒有餘數。
因數判別法可參照整除規則。
表示整除,即是的倍數,是的因數。
可以被整除,記作。
不能被整除(因為餘數為),記作。在上加一條斜線即表示不整除。
根據乘法表,兩個整數可以用長除法(直式除法)筆算。如果被除數有分數部分(或者說時小數點),計算時將小數點帶下來就可以;如果除數有小數點,將除數與被除數的小數點同時移位,直到除數沒有小數點。
算盤也可以做除法運算。
長除法俗稱「長除」,適用於正式除法、小數除法、多項式除法(即因式分解)等較重視計算過程和商數的除法,過程中兼用了乘法和減法。
使用長除法計算的過程可以表示為:
短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏,被除數放中央,旁以一L型符號表示除法,被除數左側為除數,下側為商,省去了長除法逐層計算的過程。
和整數之間的帶餘除法類似,一元多項式之間也可以進行帶餘除法。可以證明,設有多項式和非零多項式,則存在唯一的多項式和,滿足:
而多項式若非零多項式,則其冪次嚴格小於的冪次。
作為特例,如果要計算某個多項式除以一次多項式得到的餘多項式,可以直接將代入到多項式中。除以的餘多項式是。
具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如,計算除以,列式如下:
因此,商式是,餘式是。
通常不定義除以零這種形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時,該式或該數無意義。