小立方立方八面體

在幾何學中，小立方立方八面體是一種星形多面體，由20個面組成，其頂點圖為一個折四邊形。其索引為U₁₃ 。其對偶多面體為小六角星化二十四面體。

小立方立方八面體

類別	星形均勻多面體
對偶多面體	小六角星化二十四面體（英語：Small hexacronic icositetrahedron）
識別
名稱	小立方立方八面體
參考索引	U13, C38, W69
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Socco
數學表示法
威佐夫符號 （英語：Wythoff symbol）	3/2 4 | 4 3 4/3 | 4
性質
面	20
邊	48
頂點	24
歐拉特徵數	F=20, E=48, V=24 （χ=-4）
組成與佈局
面的種類	8個正三角形{3} 6個正方形{4} 6個正八邊形{8}
面的佈局 （英語：Face configuration）	8{3}+6{4}+6{8}
頂點圖	4.8.3/2.8
頂點佈局 （英語：Vertex_configuration）	4.8.3/2.8
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
圖像
4.8.3/2.8 （頂點圖） 小六角星化二十四面體（英語：Small hexacronic icositetrahedron） （對偶多面體）
閱 論 編

性質

小立方立方八面體共有20個面48條邊和24個頂點^[1]，由正三角形、正方形和正八邊形組成，其頂點以正方形-正八邊形-反三角形-正八邊形的順序組成，頂點圖是一個折四邊形，換句話說即其頂點被切去之後會露出一個折四邊形的形狀。其中反三角形為討論頂點圖時頂點連接順序與其他多邊形相反，幾何上與其他三角形是相同的。

面的組成

小立方立方八面體由20個面組成，其中有8個正三角形、6個正方形和6個正八邊形，每個頂點都是1個三角形、1個正方形和2個正八邊形公共頂點。

二面角

小立方立方八面體的有兩種二面角，分別為八邊形-正方形二面角和八邊形-三角形二面角。其中，八邊形-正方形二面角為直角、八邊形-三角形二面角為三平方根的倒數之反餘弦值^[2]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.9553166\approx 54.7356^{\circ }}$

其中，${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$是三平方根倒數化簡後的結果。

頂點座標

重心位於原點的小立方立方八面體，其頂點座標為：^[3]

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

分類

由於小立方立方八面體的頂點圖為交叉梯形且具備點可遞的特性，同時，其存在自相交的面，因此小立方立方八面體是一種自相交擬擬正多面體（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交擬擬正多面體一共有12種^[4]，除了小雙三角十二面截半二十面體外，其餘由阿爾伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）於1881年發現並描述。^[5]

自相交擬擬正多面體
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面體	大立方截半立方體	非凸大斜方截半立方體	小十二面截半二十面體
大十二面截半二十面體	小雙三角十二面截半二十面體	大雙三角十二面截半二十面體	二十面化截半大十二面體
小二十面化截半二十面體	大二十面化截半二十面體	斜方截半大十二面體	非凸大斜方截半二十面體

相關多面體及鑲嵌

小立方立方八面體和星形截角立方體有著相同的頂點布局（英語：vertex arrangement）。

小斜方截半立方體

小立方立方八面體

小斜方立方體

星形截角立方體

參見

• 小斜方截半立方體

參考文獻

1. Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, [2010-04-15], （原始內容存檔於2010-01-16）

1. small cubicuboctahedron. bulatov.com. [2016-09-10]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
2. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Cubicuboctahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.
3. Data of Small Cubicuboctahedron. （原始內容存檔於2017-03-24）.
4. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-07]. （原始內容存檔於2022-08-22）.
5. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 小立方立方八面體. MathWorld.