孤波

孤波（英語：soliton或solitary wave）又稱孤子波、孤立子、孤立波，是非線性科學三大分支之一，應用於物理、數學等諸多領域。

孤波是一類由於非線性作用引起的橫波，它在運動過程中形狀保持不變^[1]。其初等函數的解析表示最早於1895年獲得，並隨著量子力學、電子計算機等科學技術的發展逐步受到重視。

需要注意的是，雖然在許多場合下，孤波（solitary wave）與孤子（soliton）會被混淆使用，但嚴格來說並不是一個概念。

孤波（solitary wave）：孤波是一類局部化（localized）的行進波。也就是說孤波在行進時速度與波形都不會發生改變，且波的邊緣無限接近於零（波的大小不為無限）。一維的孤波一般可以用 $f(x\pm ct)$ 來表示（ $c$ 為行進速度， $x$ 為坐標， $t$ 為時間）。

孤子（soliton）：孤子是條件更加嚴格的孤波。各孤波碰撞後，各自的行進速度與波形仍然不發生變化的孤波才被稱為孤子。更為具體的定義為，如一個系統的多個孤波解的線性組合也是這個系統的解的話，這樣的孤波解會被稱為這個系統的孤子解。^[2]^[3]

物理學家經常混用兩者的理由一般為：實驗中無法確認一個物理對象是否為孤子。因為無法用無限的時間來觀測一個物理對象，即無法確定在未觀測的過去與不可知的未來里該對象是否保持著孤子的性質。因為這個理由，在實踐中物理學家一般會將一段較長時間內保持著孤子性質的孤波稱為孤子。但對於數學領域的孤波和已經給定了哈密頓量（或拉格朗日量）的可解系統（英語：integrable system），是可以通過數學計算來確定解是否為孤子的。^[2]^[3]

在物理學中，稱呼一個波為孤子（或孤波）可以指這個波本身在空間坐標中是孤子（或孤波），亦或是這個波的能量密度函數在空間坐標中是孤子（或孤波）。前者的例為KdV方程式的2-soliton解。^[4]後者的例為Sine-Gordon方程式的kink解。^[5]

蘇格蘭科學家、造船工程師約翰·史考特·羅素（1808–1882）於1834年8月在英國聯合運河旁騎馬時發現了自然界中的孤波——水面上滾動的水柱以每小時8-9英里^[6] 的速度向前滾動，持續超過一英里。10年後，他在英國科學促進協會第14屆會議上，發表論文《論水波》也稱為羅素水波。

孤波解是一類特殊的非線性偏微分方程式的行波解。KdV方程式、mKdV方程式、非線性薛丁格方程式、Sine-Gordon方程式^[7] 和高次Boer-Kraup系統^[8] 都有孤波解。

孤波有如下幾種類型：鍾型孤波、反鐘形孤波、扭型孤波、反扭型孤波，呼吸子等^[9]。

暗孤立子
雙孤立子
震動孤立子

孤子按照形狀和相位的角度可以分為亮孤子和暗孤子，暗孤子又可以分為黑孤子和灰孤子。亮孤子的波峰向上，相位是一個常數。而暗孤子有一個下凹的峰，在最底部的相位有π角度的突變，而灰孤子的幅值相對較小，且相位連續變化。另外還新發現了只能存在於週期系統的能隙亮孤子。

根據產生時抵消平衡的是繞射還是色散，光學中的孤子分為兩類，時間孤子和空間孤子。非線性效應與色散效應導致平衡時，形成時間孤子。空間孤子的形成是由於自聚焦效應導致的光束緊縮與繞射作用下的光束擴散相抵消造成的。

其它常見分類

根據橫向維數不同，可以分為一維孤子和二維孤子。
根據介質中有無耗散，可以分為耗散孤子和無耗散孤子。
根據孤子的分量數目的不同，可以分為向量孤子和純量孤子。向量孤子由多個分量組成，保持穩定需要多個分量組成，而純量孤子不需要。
根據孤子解的階數，分為高階孤子（higher-order solitons）和基本孤子（fundamental solitons）。
由於介質非線性折射率不同，可以分為克爾型孤子和飽和型孤子，克爾型孤子所在介質的非線性折射率與光強強度成正比，而飽和型非線性折射率隨著光強強度增加趨於飽和。

孤波應用於從量子力學到光資訊傳輸到蛋白質和DNA（英語：Low-frequency collective motion in proteins and DNA）結構等諸多領域。

光學

光學中，單一光波束稱為孤波。理論上傳輸穩定，不失真，被實驗於光纖通信領域。

光孤立子(光孤子)，是一種脈衝，當色散被非線性效應抵銷時則此脈衝將傳輸一段距離而不會失真。

理論物理

非線性 $\mathrm {O} (3)$ $\sigma$ 模型的解是孤子的一種，被用來描述等向性鐵磁體的統計力學性質。^[10]^[11]
胡夫特·泊里雅科夫單極子（英語：'t Hooft–Polyakov monopole）是帶有規範群(例如電弱統一 $\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ )的楊-米爾斯場耦合了一個純量場後的解。它也是拓撲孤子的一種。最初胡夫特從電弱統一出發推導出胡夫特·泊里雅科夫單極子（英語：'t Hooft–Polyakov monopole）證明了磁單極子的理論存在。^[12]之後該數學解在弦論中也有所應用。^[13]

斯格明子作為拓撲孤子的一種，在凝聚體理論與高能理論中皆有應用。最初斯格明子被托尼·斯格明（英語：Tony Skyrme）用來作為描述核子的數學模型。^[14]^[15]^[16]^[17]經過多年的認知與發展，被應用於包括弦論在內的多種粒子/高能物理學說中。^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]在凝聚體理論中斯格明子，尤其是磁斯格明子（英語：Magnetic skyrmion），由於拓撲穩定性等拓撲特性，得到了廣泛的研究。^[23]

磁斯格明子近期的發展與潛在應用（nature reviews materials）（英文）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

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