麥卡托投影法 (英語:Mercator projection ),又稱墨卡托投影法 、正軸等角圓柱投影 ,是一種等角的圓柱形地圖投影法 。
麥卡托世界地圖 (1569年)
以麥卡托投影法呈現的世界地圖。
本投影法得名於法蘭德斯 (佛蘭德)出身的地理學家 傑拉杜斯·麥卡托 ,他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上,將地球在平面展開,經 緯線 於任何位置皆垂直相交,使世界地圖 可以繪製在一個長方形 ,地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位,指出真實的經緯度,航海用途的海圖 、航路圖 大都以此方式繪製。在該投影中線型比例尺在圖中任意一點周圍都保持不變,從而可以保持大陸輪廓投影後的角度和形狀不變(即等角 );但麥卡托投影會使面積產生變形,赤道 地區變化最小,南 北 兩極的變形最大,但因為在南 北 迴歸線之間影響很少,而這是多數航線所在區域,所以被廣泛用來編製地圖。
地圖上縱向方位(圖中的橫軸)和緯度(圖中的縱軸)的關係。
下列公式在使用麥卡托投影的地圖中,從緯度 φ 和經度 λ (其中λ 0 是本初子午線 )推導為坐標系 中的坐標x 和y 。
這是古德曼函數 的逆推導:
x
=
λ
−
λ
0
y
=
ln
(
tan
(
π
4
+
φ
2
)
)
=
1
2
ln
(
1
+
sin
(
φ
)
1
−
sin
(
φ
)
)
=
tanh
−
1
(
sin
(
φ
)
)
=
sinh
−
1
(
tan
(
φ
)
)
=
ln
(
tan
(
φ
)
+
sec
(
φ
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}}
這是古德曼函數:
φ
=
2
tan
−
1
(
e
y
)
−
π
2
=
tan
−
1
(
sinh
(
y
)
)
λ
=
x
+
λ
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}}
比例尺與緯度φ 的正割 成比例,越趨向極地 (φ = ±90°)面積變形越大。此外,由公式可知,極點處的y 值為正負無窮大。
由於麥卡托投影在高緯度過分放大,低緯度又過分縮小,因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭 比澳洲 看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞 和日本 差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。
以下是實際面積(單位:平方公里)
澳洲:7,692,024平方公里
格陵蘭:2,166,086平方公里
日本:378,000平方公里
新幾內亞島:786,000平方公里
Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages 下載。
Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars . Chicago: The University of Chicago Press. 2004.
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth . Taipei: Caves Books Ltd.
Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.