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同構基本定理,或稱同態基本定理、同型定理(英語:Isomorphism theorems),包含三個定理,在泛代數領域有廣泛的應用。它們證明了一些自然同構的存在性。
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2012年2月28日) |
同構基本定理最早由埃米·諾特(Emmy Noether)在她於1927在德國數學期刊數學分析(Mathematische Annalen)發表的論文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明確闡述。
給定一個群同態 ,根據群同態第一基本定理,我們可以把除以的核,使 變成單射。
直觀來講,把一個群除以的子群相當於把裡的元素看成0(一元素)。把的核除掉後,我們使得只在 時才會成立,這是的單射性的等價敘述。
我們必須先確定商群具有群的結構,才可以對進行討論。
定理:
給定和兩個群,和群同態。則是一個的正規子群。
證明:
記 為和的運算符號,記和他們的單位元素,我們可以驗證 在共軛運算下封閉,即對於所有、所有,有。
我們有。由於在裡面,即,我們推論。因此,在裡面,故是的正規子群。
是的正規子群的這個性質讓我們可以在商群上定義一個與的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故,群同態誘導出群同構。
我們有以下的定理:
群同構第一定理 給定和兩個群,群同態,則誘導出一個從打到的群同構。
證明:
記為的核。我們定義為.
這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合,以下為示意圖
群同構第二定理: 給定群 、其正規子群 、其子群 ,則 是 的正規子群,且我們有群同構如下:
證明:
設 和 為 中的兩個元素。我們有 ,其中 , (因為 在 中正規) 且 ,故 在 中,其證明了 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。
此外,我們有 的包含關係,並且 在 中正規,所以也在 中正規。
取 單射群同態,定義為 , 取標準滿射 (值域是個群,因為 在 中正規)。藉由複合兩個群同態,我們建構出一個新的群同態 定義為 。
理由是,設 ,其中 且 。由於 在 裡面, ,故。
理由是, 是 的單位元素,即 若且唯若, 在 裡面。由於 已經在 裡面,所以證明這個相當於證明 在 裡面。
如果我們弱化前提,假設 的正規化子包含 (把相等改成包含)這個定理依然正確。
群同構第三定理: 給定群 , 和 為 的正規子群,滿足 包含於 ,則 是 的正規子群,且有如下的群同構:
證明: 為滿射,其核為
所以可由群同構第一定理得到
在泛代數中,正規子群被推廣為更廣泛的共軛類的概念。
設A和B是兩個代數結構,f是A到B的態射,則A等價關係:a~b若且唯若f(a)=f(b) 是A上的一個同餘類,並且A/同構於f的像(B的子代數)。
設B是A的子代數,是A上的同餘類。令[B]是所有包含B種元素的同餘類的集合,它是A/的一個子集;是限制在 B × B上的部分。那麼[B]是A/的子代數結構,是B上的同餘類,並且[B]同構於B/。
設A是一個代數結構,和是A上的兩個同餘關係,包含於。則定義了A/上的一個同餘類:[a]~[b]若且唯若a與b關於 同餘([a]表示a所在的-等價類),並且A/同構於(A/)/。
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