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性質
可收縮空間是具有點的同倫類的空間;可見,可收縮空間的所有同倫群都是平凡群。因此,任何具有非平凡同倫群的空間都不可收縮;由於奇異同調是同倫不變量,因此可收縮空間的既約同調群都是平凡的。
對拓撲空間X,下面這些情況等價:
- X是可收縮的(即恆等映射零倫)
- X與單點空間同倫等價
- X可收縮到一點上(不過也存在不強烈收縮到一點的可收縮空間)
- 對任意路徑連通空間Y,任意兩映射f,g: X → Y同倫
- 對任意空間Y,任意映射f: Y → X是零倫的。
空間X上的錐都可收縮。於是,任何空間都可嵌入到可收縮空間(這也說明,可收縮空間的子空間不一定可收縮)。
此外,若且唯若存在X的錐到X的收縮時,X才可收縮。
可收縮空間都是道路聯通、單連通的。另外,由於所有更高的同倫群都為零,因此對所有n ≥ 0,每個可收縮空間都是n-連通的。
局部可收縮空間
若對點x的所有鄰域U,都有U中的x的鄰域V使V的包含在U中零倫,則稱拓撲空間X在點x局部可收縮。若空間在每點都可收縮,則稱空間為局部可收縮空間。這個定義有時也稱作「幾何拓撲學家的局部可收縮」,是這術語最常見的用法。艾倫·哈切爾的標準代數拓撲學文本中,這個定義被稱作「弱局部可收縮」,還有其他用途。
強局部可收縮性是嚴格強於局部可收縮性的性質,反例是複雜的,第一個反例由卡羅爾·博蘇克和Mazurkiewicz在論文Sur les rétractes absolus indécomposables, C.R.. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112)中給出。
關於哪個定義才是局部可收縮的「標準」定義,有一些分歧;第一個定義更常用於幾何拓撲,歷史上尤多,而第二個定義更符合「局部」一詞在拓撲性質方面的典型用法。在解釋有關這些性質的結果時,應始終注意定義。
例子與反例
參考文獻
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