n-連通

此條目頁的主題是拓撲中的概念。關於圖論中的連通，請見「連通圖」。

在數學的分支拓撲學中，一個拓撲空間 X 稱為 n-連通的若且唯若它是道路連通的且其開始 n 個同倫群為平凡群，即

${\displaystyle \pi _{i}(X)\equiv 0~,\quad 1\leq i\leq n,}$

這裡左邊是第 i 個同倫群的記號。道路連通的條件也能表達為 0-連通，當定義「0 維同倫群」為：

${\displaystyle \pi _{0}(X):=[S^{0},X].}$

一個拓撲空間 X 是道路連通的若且唯若其 0 維同倫群消失，因為道路連通性意味著 X 中任何兩點x₁ 和 x₂ 能用以 x₁ 為起點，x₂ 為終點一條連續道路連接起來，這和從 S⁰（兩個點的離散集）到 X 的任何映射能形變為常映射。有了這種定義，我們可以定義 X 為 n-連通若且唯若

${\displaystyle \pi _{i}(X)\equiv 0,\quad 0\leq i\leq n.}$

舉例和應用

• 如上所述，一個空間 X 是 0-連通的若且唯若為道路連通；
• 一個空間是 1 連通的若且唯若為單連通，從而術語「n-連通」是道路連通和單連通的自然推廣。

從定義顯然有一個 n-連通空間 X 對任何 i < n 也是 i-連通的。

n-連通的概念應用於描述單純同調和高維同倫群的關係的 Hurewicz 定理。

又見

• 連通空間
• 單連通
• 道路連通
• 同倫群

參考資料

• Dubrovin, Fomenko & Novikov Modern Geometry II, Spinger-Verlag.