古戈爾

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古戈爾（英語：googol；又譯估勾兒、古高爾）指自然數10¹⁰⁰，用電子計算器顯示是1e100，即數字1後掛100個0。這個單詞是在1938年美國數學家愛德華·卡斯納（Edward Kasner）九歲的侄子米爾頓·西羅蒂（Milton Sirotta）所創造出來的。卡斯納在他的《數學與想像》（Mathematics and the Imagination）一書中寫下了這一概念。

古戈爾

古戈爾
數表 — 整數 <<   100‍  101‍  102‍  103‍  104‍  105‍  106‍  107‍  108‍  109‍ >> 10 10100 1010100 101010100
命名
小寫	一穰大數、一古戈爾
大寫	壹穰大數、壹古戈爾
性質
質因數分解	${\displaystyle 2^{100}\times 5^{100}}$
表示方式
值	10,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,000,​000
羅馬數字	${\displaystyle {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\overline {\mathrm {X} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$[註 1]
閱 論 編

古戈爾是個很大的自然數，它是一個有200個質因子的合數，這些質因子分別是100個2和100個5，它的數量級和70的階乘（70!）相同。因 ${\displaystyle 10^{100}=2^{\frac {100}{\mathrm {log} _{10}2}}\approx 2^{332.19}}$，在二進制裡，它占據333個位元（約合42字節）大小。

古戈爾對數學沒有什麼特別的意義或是有什麼特別的應用。卡斯納創造這個詞是為了勾畫出一個不可想像的大數和無窮大之間的區別，它唯一的用途是有時被用於數學教學上。

寫法和讀法

古戈爾通常方法可以如下寫法：

1 古戈爾 = 1 googol = 10¹⁰⁰ = 10,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000,​000

數學性質

• 過剩數，其不包括自己本身的正因數和為14,​999,​999,​999,​999,​999,​999,​999,​999,​999,​990,​139,​238,​684,​737,​352,​432,​353,​392,​933,​965,​172,​129,​084,​285,​735,​837,​098,​325,​670,​765,​015,​096,​531^{[註 2]}≒1.5 × 10¹⁰⁰，包含自己本身共有10,201個正因數。
  • 半完全數。由於所有半完全數的倍數都是半完全數^[1]，而100、1000都是半完全數^[2]，因此100⁵⁰即10¹⁰⁰也為半完全數，其中100為本原半完全數20的倍數^[3]。
• 十進制的節儉數。10¹⁰⁰是一個101位數，但其質因數分解${\displaystyle 2^{100}\times 5^{100}}$含指數的位數總和只有8。

古戈爾普勒克斯

古戈爾普勒克斯（googolplex）是1後有1古戈爾個0的數,或是10的古戈爾次方:${\displaystyle 10^{\mbox{googol}}=10^{10^{100}}}$。

另外還有古戈爾雙普勒克斯（googolduplex），也就是10的古戈爾普勒克斯次方，古戈爾三普勒克斯（googoltriplex，10的古戈爾雙普勒克斯次方）等等。^[4]

應用

隨著超級電腦的發明，古戈爾級的計算已變得可能。

一般的科學計算器最高指數均為99，普遍能最大顯示9.999999999 99或9.999999999e99，表示9.999999999 × 10⁹⁹，與古高爾相差10⁹⁰。 而一些基於二進制的浮點數計算器可以計算的最大值為2¹⁰²⁴（雙精度浮點數的上限值，如Google線上計算器），已經遠遠大於古戈爾了（這個數值比古戈爾的立方還大一點點，約為10³⁰⁸）。

其他

googol是一個比已知宇宙裡所有原子總和還大的數，宇宙粒子大約估計有10⁷²到10⁸⁷個。因為googolplex是googol的指數，所以寫下或存儲一個googolplex的十進制數是不可能的，甚至是已知宇宙裡的所有材料都加工成紙和墨或是磁碟也不行。

考慮下列問題「七十個人排隊進場欣賞演唱會，會有多少種排列方法呢？」，其值可以視為古戈爾的數量級，約為1.19785717 × 10¹⁰⁰，較準確的數值是七十階乘（70!）。

據網際網路搜尋引擎谷歌（Google）公佈的資料稱，Google在Googol這個詞上作微小的改變是藉以反映Google公司的使命，意在組織網上無邊無際的信息資源。^[5]

一個小古戈爾代表 2¹⁰⁰ ≈1.267x10³⁰ ，而一個小古戈爾普勒克斯代表 ${\displaystyle 2^{2^{100}}\approx 10^{3.8\times 10^{29}}}$

相關條目

• 大數 (數學)
• 大數名稱
• 古戈爾普勒克斯
• Google

參考資料

引用

1. Zachariou, Andreas; Zachariou, Eleni. Perfect, semiperfect and Ore numbers. Bull. Soc. Math. Grèce, n. Ser. 1972, 13: 12–22. MR 0360455. Zbl 0266.10012.
2. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A005835 (Pseudoperfect (or semiperfect) numbers n: some subset of the proper divisors of n sums to n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
3. Sloane, N.J.A. (編). Sequence A006036 (Primitive pseudoperfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
4. Bowers, Jonathan. "Infinity Scrapers". Polytope, 2010.
5. 公司信息 - 公司简介. Google. [2011-01-29]. （原始內容存檔於2011-04-26）.

腳注

1. 用Mathematica算出，代碼為：IntegerString[10^100, "Roman"]
2. 用Mathematica算出，代碼為:Total[Table[ Divisors[10^100][[n]], {n, 1, Length[Divisors[10^100]] - 1}]] accessdate:[2018-10-30]，減一代表不包括最後一個元素，即自己本身

參考書目

• Kasner, Edward & Newman, James Roy Mathematics and the Imagination (New York, NY, USA: Simon and Schuster, 1967年; Dover Pubns, April 2001; London: Penguin, 1940年, ISBN 0486417034).