升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的脈衝整形濾波器,它能夠最大限度地減少符碼間干擾(ISI)。之所以會如此命名是因為,該濾波器的最簡形式頻譜(
)的非零部分為餘弦函數,且被「抬升」至水平軸
上方。
升餘弦濾波器在各種滾降係數下的頻率響應
升餘弦濾波器在各種滾降係數下的脈衝響應
升餘弦濾波器是一種低通奈奎斯特濾波器的實作,即具有殘對稱性的濾波器,這表示它的頻譜呈現約
的奇對稱,
是通訊系統的符元週期。
其頻域描述為分段定義傳遞函數,由下式給出:
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e3ded19409961c1fa1eee73597487e00d5b41)
或以餘的半正矢表示:
![{\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f67f063a65a06e9a7f0b4ec1b988635196602b)
![{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf21a974d5c73093f58b5778a86e8e76a706ba66)
以兩個值為特徵;滾降係數
和符元率的倒數
。
這種濾波器的脈衝響應[1]由下式給出:
![{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b38e84f30fc32db087bddc9570266683691084c)
以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義
,而非數學領域所用的定義。
升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度,即:
![{\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/543dd6ddce7d57e000031811ea5c5437f34eae36)
升餘弦函數的自相關函數如下:
![{\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1cfb0c92ae045d046703231965384bfb016649)
自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。
連續升餘弦脈衝,顯示零ISI特性
當用於過濾符元流時,奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性,因為除了
的情形之外,所有
(
是整數)的脈衝響應都是零。
因此,如果傳輸的波形在接收端被正確採樣,原本的符元值就可以完全恢復。
然而,在許多實際的通訊系統,由於受白雜訊之影響,會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI,發射和接收濾波器的淨響應必須等於
:
![{\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc283a0cefb53f279b8b88d6f4a48a6d25eb08d)
因此:
![{\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e104a2ced7f0b39a44d1beb360564ec5ab9a53)
這些濾波器稱為根升餘弦濾波器。
升餘弦是一種常用於布拉格光纖光柵的變跡濾波器。
德語:Raised-Cosine-Filter German version of Raised-Cosine-Filter
- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5ISBN 0-07-113814-5.
- Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9