勢(英語:Cardinality)在數學裡是指如果存在著從集合A到集合B的對射,那麼集合A與集合B等勢,記為A~B。一個有限集的元素個數是一個自然數,勢標誌著該集合的大小。對於有限集,勢為其元素的數量。比較無窮集裡元素的多寡之方法,可在集合論裡用集合的等勢和某集合的勢比另一個集合大這兩個概念來達到目的。[註 1]
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設和為集合。稱它們等勢,指的是存在到一個對射,即中的元素可以與中的元素一一對應起來。例子:集合與蘋果,馬,園丁等勢,這是因為「蘋果, 馬, 園丁」是兩個集合之間的一一對應。不過在這個例子中, 不用等勢的概念也知道它們的元素不多不少, 是3個。對於無窮集可舉一個例子如下:正偶數集合和自然數集合等勢,這是因為由公式所決定的函數是一個由到的對射。
等勢的概念只能說明兩個(有限或無限)集合的元素是否「一樣多」的問題。那麼以下說明集合的元素是否比集合「多」的問題。稱「集合的勢不小於集合的勢」,若存在一個由到的單射。稱「集合的勢大於集合的勢」,若的勢不小於的勢,但和不等勢。也就是說,存在一由到的單射,但它們之間不存在一一對應。例如,實數集合的勢嚴格大於自然數集合的勢,因為內含映射是單射的,且可證明不存在一由到的對射函數。
假設選擇公理成立,三一律就會成立於所有的勢中,所以可以有以下的定義。
- 任何勢小於自然數集的集合稱為有限集合。
- 任何勢和自然數集一樣的集合稱為可數無限集合。
- 任何勢大於自然數集的集合稱為不可數集合。