![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/%25E5%2587%25B8%25E5%2587%25BD%25E6%2595%25B0%25E5%25AE%259A%25E4%25B9%2589.png/640px-%25E5%2587%25B8%25E5%2587%25BD%25E6%2595%25B0%25E5%25AE%259A%25E4%25B9%2589.png&w=640&q=50)
凸函數
維基百科,自由的 encyclopedia
凸函數(英文:Convex function)是指函數圖形上,任意兩點連成的線段,皆位於圖形的上方的實值函數,[1]如單變數的二次函數和指數函數。二階可導的一元函數為凸,若且唯若其定義域為凸集,且函數的二階導數
在整個定義域上非負。直觀理解,凸函數的圖像形如開口向上的杯
,而相反,凹函數則形如開口向下的帽
。
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E4%B9%89.png/640px-%E5%87%B8%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%AE%9A%E4%B9%89.png)
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png/320px-Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png)
在最優化研究中,凸函數的最小化問題有唯一性,即凸開集上的嚴格凸函數,至多只有一個極小值。
概率論中,凸函數作用在某隨機變量期望值
所得的結果,總不大於對隨機變量先取函數值再取期望,即
稱為延森不等式。該不等式可以推導出均值不等式及赫爾德不等式等結果。
- 注意:中國大陸數學界某些機構關於函數凹凸性定義和國外的定義是相反的。Convex Function在某些中國大陸的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。但在中國大陸涉及經濟學的很多書中,凹凸性的提法和其他國家的提法是一致的,也就是和數學教材是反的。舉個例子,同濟大學高等數學教材對函數的凹凸性定義與本條目相反,本條目的凹凸性是指其上方圖是凹集或凸集,而同濟大學高等數學教材則是指其下方圖是凹集或凸集,兩者定義正好相反。