Loading AI tools
来自维基百科,自由的百科全书
全純函數(英語:Holomorphic function)是複分析研究的中心物件;它們是定義在複數平面的開子集上的,在複數平面中取值的,在每點上皆複可微的函數。[註 1][註 2]全純函數有時稱為正則函數。在整個複數平面上都全純的函數稱為整函數。在一點全純,不僅表意味著可微,而且表示在某個中心為的複數平面上的開鄰域上可微。[註 3]
若為的開子集,且為一個函數。
其中,極限取所有趨向的複數列,並對所有這種序列差的商趨向同一個數,另外,這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質:它是線性的,並服從乘積,商和連鎖律。
若複系數冪級數,且收斂半徑不為零,我們記為其收斂區域。
函數
為全純函數,且任取.事實上,這個函數在上無窮可導。
若在一個連通集上的函數滿足條件:,則稱其為一個複對數函數。
另有一等價定義,即若全純函數在上以為導數,且存在一點,使得這一點,則稱其為一個複對數函數。
在的任意開子集上,若有一個複對數,那麼任取整數,函數也為上的複對數函數。
在的任意開子集上,若有一個複對數,那麼任取複數,在上階冪函數可以定義為
特別地,任取整數,有,滿足,我們稱此表達式為上階冪的定義式。另外,記[註 5]。
因為複微分是線性的,並且服從積、商、連鎖律,所以全純函數的和、積及複合是全純的,而兩個全純函數的商在所有分母非0的地方全純。
每個全純函數在每一點無窮可微。它和它自己的泰勒級數相等,而泰勒級數在每個完全位於定義域內的開圓盤上收斂。泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂;例如,對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂,甚至在複實數軸的附近也是如此。
若把和等同起來,則全純函數和滿足柯西-黎曼方程式的雙實變量函數相同,該方程組含有兩個偏微分方程式。
在非0導數的點的附近,全純函數是共形的[註 6]。因為他們保持了小圖形的角度和形狀[註 7]。
柯西積分公式表明每個全純函數在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。
多複變函數的複解析函數定義為在一點全純和解析,如果它局部可以[註 8]擴張為收斂的各個變量的冪級數。這個條件比柯西-黎曼方程式要強;事實上它可以這樣表述為一個多複變量函數是全純的若且唯若它滿足柯西-黎曼方程式並且局部平方可積。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.