相互資訊

在概率論和資訊理論中，兩個隨機變數的相互資訊（mutual Information，MI）度量了兩個變數之間相互依賴的程度。具體來說，對於兩個隨機變數，MI是一個隨機變數由於已知另一個隨機變數而減少的「資訊量」（單位通常為位元）。相互資訊的概念與隨機變數的熵緊密相關，熵是資訊理論中的基本概念，它量化的是隨機變數中所包含的「資訊量」。

獨立的(H(X),H(Y)), 聯合的(H(X,Y)), 以及一對帶有相互資訊 I(X; Y) 的相互關聯的子系統 X,Y 的條件熵。

MI不僅僅是度量實值隨機變數和線性相關性(如相關係數)，它更為通用。MI決定了隨機變數${\displaystyle {\displaystyle (X,Y)}}$的聯合分布與${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的邊緣分布的乘積之間的差異。MI是點相互資訊（Pointwise Mutual Information（英語：pointwise mutual information），PMI）的期望。克勞德·香農在他的論文A Mathematical Theory of Communication（英語：A Mathematical Theory of Communication）中定義並分析了這個度量，但是當時他並沒有將其稱為「相互資訊」。這個詞後來由羅伯特·法諾^[1]創造。相互資訊也稱為資訊增益。

相互資訊的定義

設隨機變數${\displaystyle {\displaystyle (X,Y)}}$是空間${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}}$中的一對隨機變數。若他們的聯合分布是${\displaystyle {\displaystyle p(x,y)}}$，邊緣分布分別是${\displaystyle {\displaystyle p(x)}}$和${\displaystyle {\displaystyle p(y)}}$，那麼，它們之間的相互資訊可以定義為：

${\displaystyle {\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)\otimes p(y))}}$

其中，${\displaystyle {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }}}$為KL散度(Kullback–Leibler divergence)。注意，根據KL散度的性質，若聯合分布${\displaystyle p(x,y)}$等於邊緣分布${\displaystyle p(x)}$和${\displaystyle p(y)}$的乘積，則${\displaystyle I(X;Y)=0}$，即當${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$相互獨立的時候，觀測到Y對於我們預測X沒有任何幫助，此時他們的相互資訊為0。

離散變數的相互資訊

離散隨機變數 X 和 Y 的相互資訊可以計算為：

${\displaystyle I(X;Y)=\sum _{y\in Y}\sum _{x\in X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)},\,\!}$

其中 p(x, y) 是 X 和 Y 的聯合概率品質函式，而 ${\displaystyle p(x)}$ 和 ${\displaystyle p(y)}$ 分別是 X 和 Y 的邊緣概率品質函式。

連續變數的相互資訊

在連續隨機變數的情形下，求和被替換成了二重定積分：

${\displaystyle I(X;Y)=\int _{Y}\int _{X}p(x,y)\log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}\;dx\,dy,}$

其中 p(x, y) 當前是 X 和 Y 的聯合概率密度函式，而 ${\displaystyle p(x)}$ 和 ${\displaystyle p(y)}$ 分別是 X 和 Y 的邊緣概率密度函式。

如果對數以 2 為基底，相互資訊的單位是bit。

直觀上，相互資訊度量 X 和 Y 共享的資訊：它度量知道這兩個變數其中一個，對另一個不確定度減少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互獨立，則知道 X 不對 Y 提供任何資訊，反之亦然，所以它們的相互資訊為零。在另一個極端，如果 X 是 Y 的一個確定性函式，且 Y 也是 X 的一個確定性函式，那麼傳遞的所有資訊被 X 和 Y 共享：知道 X 決定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形相互資訊與 Y（或 X）單獨包含的不確定度相同，稱作 Y（或 X）的熵。而且，這個相互資訊與 X 的熵和 Y 的熵相同。（這種情形的一個非常特殊的情況是當 X 和 Y 為相同隨機變數時。）

相互資訊是 X 和 Y 的聯合分布相對於假定 X 和 Y 獨立情況下的聯合分布之間的內在依賴性。 於是相互資訊以下面方式度量依賴性：I(X; Y) = 0 若且唯若 X 和 Y 為獨立隨機變數。從一個方向很容易看出：當 X 和 Y 獨立時，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：

${\displaystyle \log {\left({\frac {p(x,y)}{p(x)\,p(y)}}\right)}=\log 1=0.\,\!}$

此外，相互資訊是非負的（即 ${\displaystyle I(X;Y)\geq 0}$; 見下文），而且是對稱的（即 ${\displaystyle I(X;Y)=I(Y;X)}$）。

與其他量的關係

相互資訊又可以等價地表示成

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=H(X)-H(X|Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X)\\&{}=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\&{}=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle \ H(X)}$ 和 ${\displaystyle \ H(Y)}$ 是邊緣熵，H(X|Y) 和 H(Y|X) 是條件熵，而 H(X,Y) 是 X 和 Y 的聯合熵。注意到這組關係和併集、差集和交集的關係類似，於是用Venn圖表示。

在相互資訊定義的基礎上使用琴生不等式，我們可以證明 I(X;Y) 是非負的，因此 ${\displaystyle \ H(X)\geq H(X|Y)}$。這裡我們給出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的詳細推導:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)p(y)}}\\&{}=\sum _{x,y}p(x,y)\log {\frac {p(x,y)}{p(x)}}-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x,y}p(x)p(y|x)\log p(y|x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\&{}=\sum _{x}p(x)\left(\sum _{y}p(y|x)\log p(y|x)\right)-\sum _{y}\log p(y)\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\\&{}=-\sum _{x}p(x)H(Y|X=x)-\sum _{y}\log p(y)p(y)\\&{}=-H(Y|X)+H(Y)\\&{}=H(Y)-H(Y|X).\\\end{aligned}}}$

上面其他性質的證明類似。

直觀地說，如果把熵 H(Y) 看作一個隨機變數於不確定度的量度，那麼 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件後Y事件會發生"的不確定度。於是第一個等式的右邊就可以讀作「將"Y事件的不確定度"，減去 --- "在基於X事件後Y事件因此發生的不確定度"」。

這證實了相互資訊的直觀意義為: "因X而有Y事件"的熵( 基於已知隨機變數的不確定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影響地位( "Y事件所具有的不確定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不確性" )，意即"Y具有的不確定性"有多少程度是起因於X事件;

    舉例來說，當 I(X;Y) = 0時，也就是 H(Y) = H(Y|X)時，即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性"，這說明了互信息的具體意義是在度量兩個事件彼此之間的關聯性。

所以具體的解釋就是: 相互資訊越小，兩個來自不同事件空間的隨機變數彼此之間的關聯性越低; 相互資訊越高，關聯性則越高 。

注意到離散情形 H(X|X) = 0，於是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我們可以制定」一個變數至少包含其他任何變數可以提供的與它有關的資訊「的基本原理。

相互資訊也可以表示為兩個隨機變數的邊緣分布 X 和 Y 的乘積 p(x) × p(y) 相對於隨機變數的聯合熵 p(x,y) 的相對熵：

${\displaystyle I(X;Y)=D_{\mathrm {KL} }(p(x,y)\|p(x)p(y)).}$

此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。則

${\displaystyle {\begin{aligned}I(X;Y)&{}=\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)\log _{2}{\frac {p(x|y)}{p(x)}}\\&{}=\sum _{y}p(y)\;D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\\&{}=\mathbb {E} _{Y}\{D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))\}.\end{aligned}}}$

注意到，這裡相對熵涉及到僅對隨機變數 X 積分，表達式 ${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(p(x|y)\|p(x))}$ 現在以 Y 為變數。於是相互資訊也可以理解為相對熵 X 的單變數分布 p(x) 相對於給定 Y 時 X 的條件分布 p(x|y) ：分布 p(x|y) 和 p(x) 之間的平均差異越大，資訊增益越大。

連續相互資訊的量化

對連續型隨機變數量化的定義如下：

${\displaystyle f(x_{i})\Delta =\int _{i\Delta }^{(i+1)\Delta }f(x)dx=p_{i}}$

量化後的隨機變數${\displaystyle X^{\Delta }}$:

${\displaystyle X^{\Delta }=x_{i},i\Delta \leq X<(i+1)\Delta }$。

則,

${\displaystyle I(X^{\Delta };Y^{\Delta })=H(X^{\Delta })-H(X^{\Delta }|Y^{\Delta })}$

${\displaystyle \approx h(X)-log{\Delta }-(h(X|Y)-log{\Delta })}$

${\displaystyle =I(X;Y)}$

廣義而言，我們可以將相互資訊定義在有限多個連續隨機變數值域的劃分。

令${\displaystyle \chi }$為連續型隨機變數的值域，${\displaystyle P_{i}\in P}$, 其中${\displaystyle P}$為${\displaystyle \chi }$劃分所構成的集合，意即${\displaystyle \cup _{i}P_{i}=\chi }$。

以${\displaystyle P}$量化連續型隨機變數${\displaystyle X}$後，所得結果為離散型隨機變數,

${\displaystyle Pr([X]_{P}=i)=\int _{P_{i}}dF(x)}$。

對於兩連續型隨機變數X、Y，其劃分分別為P、Q，則其相互資訊可表示為：

${\displaystyle I(X;Y)={\underset {P,Q}{sup}}I([X]_{P};[Y]_{Q})}$。

參見

• 點間相互資訊（英語：Pointwise mutual information）
• 量子相互資訊（英語：Quantum mutual information）

注釋

1. Kreer, J. G. A question of terminology. IRE Transactions on Information Theory. 1957, 3 (3): 208. doi:10.1109/TIT.1957.1057418.

參考文獻

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