條件機率分布(Conditional Probability Distribution,或者 條件分布,Conditional Distribution )是現代機率論中的概念。已知兩個相關的隨機變數X 和Y,隨機變數Y 在條件{X =x}下的條件機率分布是指當已知X 的取值為某個特定值x之時,Y 的機率分布。 如果Y 在條件{X =x}下的條件機率分布是連續分布,那麼其密度函數稱作Y 在條件{X =x}下的條件機率密度函數(條件分布密度、條件密度函數)。與條件分布有關的概念,常常以「條件」作為前綴,如條件期望、條件方差等等。
假設在桌子上拋擲一枚普通的骰子,則其點數結果的機率分布是集合的均勻分布:每個點數出現的機率都是均等的六分之一。然而,如果據某個坐在桌邊的人觀察,向著他的側面是6點,那麼,在此條件下,向上的一面不可能是6點,也不可能是6點對面的1點。因此,在此條件下,拋骰子的點數結果是集合的均勻分布:有四分之一的可能性出現四種點數中的一種。可以看出,增加的條件或信息量(某個側面是6點)導致了點數結果的機率分布的變化。這個新的機率分布就是條件機率分布。
更為嚴格清晰的定義需要用到數學語言。當隨機變數是離散或連續時,條件機率分布有不同的表達方法。
對於離散型的隨機變數X 和Y(取值範圍分別是和),隨機變數Y 在條件{X =x}下的條件機率分布是:
- ()
同樣的,X 在條件{Y=y}下的條件機率分布是:
- ()
其中,是X 和Y 聯合分布機率,即「,並且發生的機率」。如果用表示的值:
那麼隨機變數X 和Y 的邊際分布就是:
因此, 隨機變數Y 在條件{X =x}下的條件機率分布也可以表達為:
- ()
同樣的,X 在條件{Y=y}下的條件機率分布也可以表達為:
- ()
在一定意義上,條件分布和獨立分布是相對的。如果兩個隨機變數X 和Y 是獨立分布的,那麼不論是否已知某個關於X 的條件,都不會影響Y 的機率分布。用數學語言來說,就是:
這與獨立分布的定義是相合的,事實上,隨機變數X 和Y 相互獨立分布,則:
因此