丟番圖逼近
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丟番圖分析(英語:Diophantine approximation)是數論的一個分支。最經典的丟番圖逼近主要用於有理數逼近實數,亦即實數的有理逼近相關問題。其中有理數一般用分數形式表達,且一律要求分子為整數,分母為正整數,通常要求是最簡分數。
丟番圖逼近的名稱源於古希臘數學家丟番圖。這是因為有理逼近可以歸結為求不等式整數解的問題,而求方程式整數解的問題一般稱為丟番圖方程式(或不定方程式),故而得名。事實上,丟番圖逼近與不定方程式的研究確有頗多相關。
丟番圖逼近的首要問題是尋求實數的最佳(有理)丟番圖逼近,簡稱最佳逼近。具體來說,對於一個實數 ,希望找到一個「最優」的有理數
作為
的近似,使在分母不超過
的所有有理數中,
與
的距離最小。這裡的「距離」可以是歐氏距離,即兩數之差的絕對值;也可以用
等方式度量。滿足此類要求的有理數
稱為實數
的一個最佳逼近。關於如何尋找實數的最佳逼近及相關論題,已於18世紀隨著連分數理論的發展得到基本解決。
其後,該領域的主要注意力轉向對有理逼近的誤差進行估計、度量,以給出儘可能精確的上下界(一般用分母的函數表示)。作為分母的函數, 這種上下界的階與 的性質密切相關。當
分別為有理數、代數數、超越數時,其最佳逼近誤差下界的階是不同的。基於這種思想,萊歐維爾在1844年建立了有關代數數逼近的一個基本結論,並由此具體地構造出了一個超越數(參見萊歐維爾數),證明了它的超越性。這在人類歷史上尚屬首次。由此可見,丟番圖逼近與數論的另一分支——超越數論緊密相關。
除了上述最經典的單個實數的有理逼近問題,該領域還包括多個實數的聯立逼近,非齊次逼近,實數的代數數逼近,一致分布(均勻分布)等方面。甚至連p進數上的丟番圖逼近也有頗多研究。