最簡分數

最簡分數，也稱既約分數或不可再約分數（英語：Irreducible fraction），指的是分子與分母互質的分數。

若一分數可表為${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$，且${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$（整數），${\displaystyle (p,q)=1}$，則稱${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$為最簡分數。假若p和q還有別的公因數，則其非最簡分數。若${\displaystyle (p,q)=d}$，且設${\displaystyle p=k_{1}d,q=k_{2}d;k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$則${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}$。其中${\displaystyle {\frac {k_{1}}{k_{2}}}}$為${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$的最簡分數。

最簡分數也可參閱有理化分數的公式，盡量將分子和分母互為質數^[1]。每一個正有理數可以被表示為不可簡化的分數^[2]。如果分數的分子和分母劃分為它們的最大公因數，而這一項方法可以完全降低至最低的簡化條件^[3]。為了找出分子和分母的最小公因數，當然可以使用輾轉相除法或整數分解，就是要解決分數的分子和分母過大的問題^[4]。

最簡分數例如${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$、${\displaystyle {\frac {4}{19}}}$或${\displaystyle {\frac {198}{17}}}$。而${\displaystyle {\frac {6}{4}}}$不是，因為${\displaystyle (6,4)=2}$，因而${\displaystyle {\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}$

唯一性

每一個有理數沒有獨特性的表示正分母的不可簡化分數^[2]（雖然兩者${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {-2}{-3}}}$ 都是不可簡化的分數）。唯一性是獨一無二主要因子分解的結果，自從出現 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$意味著${\displaystyle ad=bc}$，因此等號的雙邊必須共享相同的因式分解，設主要多重的因數${\displaystyle a}$，而${\displaystyle c}$也要出現${\displaystyle a}$的子集，方可證明${\displaystyle ad=bc}$。

概括

不可簡化的分數的概念可推論任何唯一分解整環之分式環：透過劃分分子和分母的最大公因數，這一項元素的領域中可被寫出它們的分數^[5]。特別適用越過其他領域的代數式。然而不可簡化的分數在給定元素上，既使是同樣的可逆元素，也是唯一較多人使用分子和分母的乘法。在有理數的情況下意旨任何數字具有兩個最簡分數，若跟分子和分母的正負號有關；在這種模糊的情況下可透過要求分母要被移除負號。在合理的功能的情況下，分母可以類似地被要求是一個首項^[6]。

參見

• 偶然對消：指算術上不正確的處理，但其結果恰好是正確的。
• 丟番圖逼近：透過有理數中逼出實數的近似值。

參考資料

1. E.g., see Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni, The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002, Springer: 155, 2004 [2016-07-08], （原始內容存檔於2019-07-12）
2. Scott, William, Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College, College text books, Sandhurst. Royal Military College 1, Longman, Brown, Green, and Longmans: 75, 1844.
3. Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr., 9.1. Reducing a fraction to lowest terms, Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers, MSRI mathematical circles library 10, American Mathematical Society: 131–134, 2012 [2016-07-08], ISBN 9780821887981, （原始內容存檔於2019-07-12）.
4. Cuoco, Al; Rotman, Joseph, Learning Modern Algebra, Mathematical Association of America Textbooks, Mathematical Association of America: 33, 2013 [2016-07-08], ISBN 9781939512017, （原始內容存檔於2019-07-12）.
5. Garrett, Paul B., Abstract Algebra, CRC Press: 183, 2007 [2016-07-08], ISBN 9781584886907, （原始內容存檔於2019-07-12）.
6. Grillet, Pierre Antoine, Abstract Algebra, Graduate Texts in Mathematics 242, Springer, Lemma 9.2, p. 183, 2007 [2016-07-08], ISBN 9780387715681, （原始內容存檔於2019-07-12）.