三等分角

三等分角是古希臘平面幾何里尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：「能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？」

三等分角無法按照尺規作圖的規定作出，但如果藉助另外的工具或放寬尺規作圖的限制，三等分角是可行的

三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案^[1] 。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家皮埃爾·汪策爾（英語：Pierre Wantzel）首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出通過尺規三等分任意角是不可能的。

如果不將手段局限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。^[1]

背景簡介

尺規作圖法

主條目：尺規作圖

在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的「直尺和圓規畫圖可能性」問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是^[1]：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法^[1]：

• 通過兩個已知點，作一直線。
• 已知圓心和半徑，作一個圓。
• 若兩已知直線相交，確定其交點。
• 若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
• 若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠通過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：「給定某某條件，能否用尺規作出某某對象？」比如：「給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？」等等。^[1]

問題敘述

三等分角問題的完整敘述是^[2]：

“

任意給定一個角，是否能夠通過以上說明的五種基本步驟，於有限次內作出另一個角，等於這個角的三分之一？

”

關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。「角」可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連接它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角AOB指的是由三點A, O, B以及線段AO和OB構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如α表示。兩個角AOB和A'O'B'相等，指的是以下條件：如果將線段OA沿點A延長為射線，在上面作一點C使得OC ${\displaystyle =}$ O'A'，同時將線段OB沿點B延長為射線，在上面作一點D使得OD ${\displaystyle =}$ O'B'，則CD ${\displaystyle =}$ A'B'。

一個角α等於另一個角β的三分之一，指的是角β等於角α的三倍。而一個角AOB等於角AOC的k倍（k > 1為自然數），指的是可以找到點B₁, B₂, ... , B_k等，使得k個角AOB₁, B₁OB₂, ... , B_k-1OB_k都等於AOC，並且點B_k就是點B。

二等分角問題

尺規二等分任意角度的過程

與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分……但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

不可能性的證明

主條目：規矩數

1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的^[3]:15。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

尺規可作性和規矩數

在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為坐標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（坐標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點O和A，以OA為單位長度，射線OA為x-軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系，平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示，整個平面可以等價於${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

設E是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的一個非空子集。如果某直線${\displaystyle {\mathcal {l}}}$經過E中不同的兩點，就說${\displaystyle {\mathcal {l}}}$是E-尺規可作的，簡稱E-可作。同樣地，如果某個圓${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的圓心和圓上的某個點是E中的元素，就說${\displaystyle {\mathcal {C}}}$是E-可作的。進一步地說，如果${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$里的某個點P是某兩個E-可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點P是E-可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有E-尺規可作的點的集合記作s(E)，那麼當E中包含超過兩個點的時候，E肯定是s(E)的真子集。從某個點集E₀開始，經過一步能作出的點構成集合E₁ ${\displaystyle =}$ s(E)，經過兩步能作出的點就是E₂ ${\displaystyle =}$ s(E₁)，……以此類推，經過n步能作出的點集就是E_n ${\displaystyle =}$ s(E_n-1)。而所有從E能尺規作出的點集就是：

${\displaystyle C(\mathrm {E} _{0})=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\mathrm {E} _{n}}$。^[4]:521

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合E₀ ${\displaystyle =}$ {(0,0), (0,1)}開始，尺規可作點的集合：H ${\displaystyle =}$ C(E₀)，那麼規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。

定義：實數a和b是規矩數若且唯若(a, b)是H中的一個點。^[4]:522

可以證明，有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$是所有規矩數構成的集合K的子集，而K又是實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集。另外，為了在複數集${\displaystyle \mathbb {C} }$內討論問題，也會將平面${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$看作複平面${\displaystyle \mathbb {C} }$，同時定義一個複數a+bi是（復）規矩數若且唯若點(a, b)是H中的一個點。所有復規矩數構成的集合L也包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$作為子集，並且是複數集${\displaystyle \mathbb {C} }$的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。^[4]:522

域的擴張與最小多項式

主條目：域擴張和最小多項式

以集合的觀念來說，L與${\displaystyle \mathbb {Q} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明L是有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的擴域，是實數域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域。記作${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathrm {L} \subseteq \mathbb {C} }$。域是抽象代數中的概念，是能夠進行「加減乘除」運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線OA（也就是實數軸）上所有的有理數坐標的點都是尺規可作點^[1]。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數z），那麼也能做出任意pz+q的點，甚至於任何形如：

${\displaystyle {\frac {P_{1}(z)}{P_{2}(z)}}}$

的點（其中P₁和P₂是兩個多項式）。有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$和所有因為z而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為${\displaystyle \mathbb {Q} }$關於z的擴張，記作${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$。然而，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素並沒有表面上那麼「多」。一般來說，如果有一個多項式P使得P(z)=0，那麼${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$中的元素都可以寫成λ₁+λ₂z+...+λ_dz^d-1的形式，其中d是P的階數。這樣的情況稱為域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限擴張，因為${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$可以看成關於${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得m(z) ${\displaystyle =}$ 0的多項式中階數最小的，並稱m是z最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定1, z, ... , z^d_m-1是${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$的一個基底，${\displaystyle \mathbb {Q} (z)}$是一個d_m維的${\displaystyle \mathbb {Q} }$-線性空間（d_m是m的階數）^[5]:68。這時候也稱d_m是域擴張${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的階數，記作：

${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=\mathrm {d} _{m}}$^[4]:512

規矩擴張的階數

對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是通過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新坐標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是L，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在L裡面。

直線的方程是：${\displaystyle ax+by+c=0,\quad a,b,c\in \mathrm {L} ,\qquad \qquad \cdots \;\;(1)}$

圓的方程是：${\displaystyle (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}=r^{2},\quad c_{1},c_{2},r\in \mathrm {L} .\qquad \qquad \cdots \;\;(2)}$

無論是兩個(1)類方程，兩個(2)類方程，還是一個(1)類和一個(2)類方程聯立求解，得到的x和y值都會是形同

${\displaystyle {\begin{cases}x=p_{1}+q_{1}{\sqrt {t}}&p_{1},\;q_{1},\;t\;\in \mathrm {L} \\y=p_{2}+q_{2}{\sqrt {t}}&p_{2},\;q_{2}\;\in \mathrm {L} \end{cases}}}$

的數值。所以復規矩數z ${\displaystyle =}$ x+yi滿足一個二次方程：

${\displaystyle (z-(p_{1}+p_{2}i))^{2}=t(q_{1}+q_{2}i)^{2}}$

其中的p₁+p₂i、q₁+q₂i以及t都是L中的元素^{[4]:523[5]:78-79}。這意味著，域擴張L⊆L(z)的階數最多是2（最小多項式的階數至多是2）^[1]。這又說明，從L開始，經過一系列（n次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了n次域擴張：

${\displaystyle \mathrm {L} \subseteq \mathrm {L} _{1}\subseteq \cdots \subseteq \mathrm {L} _{n}}$。

而每次域擴張的階數：[L_k : L_k-1]都不超過2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理：^{[4]:523-524[1]}

任何復規矩數z對應的域擴張${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (z)}$的階數${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]}$都是2的某個冪次： ${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=2^{s}}$

其中的s是某個小於n的自然數（n是已知所有有理數坐標點時，作出z對應的點要經過的基本步驟數目）。

三等分角的反證

上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為${\displaystyle 2^{s}}$。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是${\displaystyle \theta }$的角，均可以由尺規作圖得到 角度為${\displaystyle {\frac {\theta }{3}}}$的角。這等價於說在已知單位長度和${\displaystyle \cos {\theta }}$的時候能做出${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}}$的長度。設L是包含了${\displaystyle \cos {\theta }}$和單位長度1的域。用尺規作圖可以得到${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta }{3}}}$，說明域擴張的階數是2的冪次：

${\displaystyle [\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}}$

然而根據三倍角公式：

${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}$。

運用多項式的知識可以證明，${\displaystyle z}$在L中的最小多項式的階數必定不大於3，也就是說是1，2或者3^[4]:512。比如說當角度${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$時，L就是${\displaystyle \mathbb {Q} }$（${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$）三倍角公式變成：

${\displaystyle 4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}}$，即是：

${\displaystyle 8z^{3}-6z-1=0}$

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$，所以可以證明${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}$。^[1]然而3不是2的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分^[4]:525-526。${\displaystyle \Box }$

能夠尺規三等分的角度

以上的證明通過一個反例：${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的^[1]。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角${\displaystyle \theta }$等價於說${\displaystyle [\mathrm {L} (\cos {\frac {\theta }{3}}):\mathrm {L} ]=1}$^[5]:58。要注意的是，這個條件與${\displaystyle \cos {\theta }}$本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度${\displaystyle \theta }$即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角${\displaystyle \theta }$作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度${\displaystyle 3\pi /7}$就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個${\displaystyle 3\pi /7}$的角，它的五倍角就是${\displaystyle 15\pi /7}$，等於將圓周繞過一圈後的${\displaystyle \pi /7}$，這正是${\displaystyle 3\pi /7}$的三分之一。可以證明，角度${\displaystyle 2\pi /N}$可以用尺規三等分，若且唯若自然數N本身無法被三整除。

從證明中還可看出，只要自然數k只含有2以外的質因子，根據k倍角公式得到的k階多項式就說明${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{k}}}$的最小多項式階數整除k，所以不是2的冪次，從而無法用尺規作圖k等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（${\displaystyle 2\pi /N}$可以五等分，當且僅當N不是5的倍數；而不管N是多少，${\displaystyle 2\pi /N}$都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法

用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。

無限次步驟

尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用

${\displaystyle {\frac {1}{3}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$

這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為${\displaystyle \theta }$的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角${\displaystyle \theta }$，得到${\displaystyle {\frac {\theta }{4}}}$。同樣地，可以作出${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{2}}}}$、${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{3}}}}$等所有形同${\displaystyle {\frac {\theta }{4^{n}}}}$的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到

${\displaystyle {\frac {\theta }{4}}+{\frac {\theta }{4^{2}}}+{\frac {\theta }{4^{3}}}+\cdots ={\frac {\theta }{3}}}$。^[1]

二刻尺

把角a三等分

如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角a三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出^[3]:4。

首先，在直尺上有兩個刻度，相距AB。把角上的直線延長，並作一個半徑為AB的圓。

把直尺的一點固定在A，並將直尺繞著點A移動，直到其中一個刻度位於點C，另一個刻度位於點D，也就是說，CD ${\displaystyle =}$ AB。這時，角b就是角a的三分之一。

要證明${\displaystyle a=3b}$，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。

證明：

1. ${\displaystyle e+c=180^{\circ }}$。
2. ${\displaystyle e+2b=180^{\circ }}$。
3. 兩式相減，得${\displaystyle c=2b}$。
4. ${\displaystyle d+2c=180^{\circ }}$，因此${\displaystyle d=180^{\circ }-2c}$，把上式代入，得${\displaystyle d=180^{\circ }-4b}$。
5. ${\displaystyle a+d+b=180^{\circ }}$，因此${\displaystyle a+(180^{\circ }-4b)+b=180^{\circ }}$。

所以，${\displaystyle a-3b=0}$，或${\displaystyle a=3b}$。證畢。^[1][3]:4-5

或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。

${\displaystyle b+b=c}$

${\displaystyle b+c=a}$

${\displaystyle \Rightarrow {b}+2b=a}$

${\displaystyle \Rightarrow {a}=3b}$

同樣也可證明。

藉助其他形狀或工具

尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角AOB，做其角平分線OC。以直線OC為準線，點A為焦點，作一雙曲線；同時以O為圓心，OA為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角AOB內側的交點為D，那麼角AOD等於角AOB的三分之一。^[1]此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極坐標中，阿基米德螺線的方程是：

${\displaystyle \rho =c\theta }$

其中的${\displaystyle \rho }$是極徑（離原點的距離），${\displaystyle \theta }$是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度${\displaystyle \rho _{0}}$，然後對比找出${\displaystyle {\frac {\rho _{0}}{3}}}$對應的角度即可。^[3]:8

相關條目

• 莫雷角三分線定理
• 規矩數
• 三等分角線

參考來源

1. 曹亮吉. 《三等分任意角可能吗？》. 原載於科學月刊第九卷第四期. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-28]. （原始內容存檔於2014-06-23）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)
2. 康明昌. 《古希臘幾何三大問題 》. 原載於數學傳播第八卷第二期、第八卷第三期分兩期刊出. http://episte.math.ntu.edu.tw. [2013-05-29]. （原始內容存檔於2004-04-06）. 外部連結存在於|publisher= (幫助)
3. Underwood Dudley. The trisectors. Cambridge University Press. 1994. ISBN 9780883855140 （英語）.
4. Warner. Modern algebra. Courier Dover Publications. 1990. ISBN 9780486663418 （英語）.
5. Stewart, Ian. Galois Theory. Chapman and Hall Mathematics. 1989. ISBN 0-412-34550-1 （英語）.

外部連結

• HPM 通訊第6卷第6期，3大作圖題（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 介紹在較寬鬆的條件下（允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線）用尺規作圖，來求解三等分角問題。
• 三等分任意角可能嗎？（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）