σ-代數
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在數學中,某個集合 X 上的 σ-代數(英語:σ-algebra)又叫 σ-域(英語:σ-field),是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。這個子集族對於補集運算和可數個聯集運算具有封閉性(因此對於可數個交集運算也是封閉的)。σ-代數在測度論裡可以用來定義所謂的「可測集合」,是測度論的基礎概念之一。
σ-代數的概念大約起始於1900~1930年,它隨著測度論的發展而逐漸清晰。最著名的 σ-代數是關於實數軸測度的波萊爾σ-代數(得名於法國數學家埃米·波萊爾),以及1901年亨利·勒貝格建立的勒貝格σ-代數。而現代的測度理論的公理化體系就建立在勒貝格的相關理論之上。在這個領域中,σ-代數不僅僅是用於建立公理體系,也是一個強有力的工具,在定義許多重要的概念如條件期望值和鞅的時候,都需要用到。
動機
σ-代數的提出有至少三個作用:定義測度,操作集合的極限,以及管理集合所表示的部分資訊。
測度
測度是給的子集賦予非負實數值的函數;可以把測度想成給集合的一個精確的「大小」或「體積」的定義。直覺上來講,若干個互不相交集合的聯集的大小應當等於它們各自的大小之和,即使有無窮多個這樣的不交集。
定義
注意到定義第3條的,意思是
和自然數系
等勢,直觀的意思就是
裡的元素跟自然數一樣多。
以上定義的直觀意義為:一群 的子集合所組成的集合
,為
上的一個 σ-代數意思是滿足:
在測度論裡有序對 會被稱為一個可測空間。而任何在
中的子集
,則稱為可測集合(measurable set);而在機率論中,
被稱為事件族(family of events),
中的子集
則稱為事件。
例子
最小σ-代數
證明 |
---|
根據
以下將逐條檢定σ代數的定義,來驗證 (1) 對所有的集族 (2)若 若 (3)可數個聯集也在 若 所以再從(a)右方,就可以得到: 綜上所述, |
根據以上的定理,可以做以下的定義:
例子
- 設集合
,那麼
是集合
上含有
的σ-代數中最「小」的一個。
性質
σ-代數是一個代數也是一個λ系,它對集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集運算都是封閉的。
參考來源
- Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950.,第28頁
- Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2.,第45-46頁