珠算,指的是用算盘进行计算,一般特指用中式算盘进行计算。珠算领域对四则运算统整出了一套系统的计算规则,统称珠算法则。其源于中国筹算,在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法,珠算为其一。不过,当时尚无现在的算盘,是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。
2013年,联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。[1]
术语
珠算已发展成一系统,亦衍生出许多相关术语,为便于说明,参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之:
运珠
有两种方式[2]:
- 双手拨珠,以中国为主,另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙特阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
- 单手运珠,以台湾、日本、韩国为主,另有马来西亚、新加坡、泰国、香港、美国、加拿大、巴西、澳洲等。
- 二五珠算盘
此条目包含过多行话或专业术语,可能需要简化或提出进一步解释。 (2017年8月3日) |
一般只用拇指、食指和中指拨珠(亦有极少数非常熟练的人五指全用),三个手指的基本分工是:
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 中指拨上珠靠梁和离梁。
- 一四珠算盘
(或一五珠算盘):两个手指的基本分工是:
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
- 一五珠算盘
两个手指的基本分工是:
- 食指拨上珠向下靠梁。
- 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
- 拇指拨下珠向上靠梁。
- 食指拨下珠向下离梁。
算法
布数是指表现数字的算珠摆放方式。
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
方法为同位值相加,逢十进一,计算时由又高位档向低位档依次相加。
(例)1937+284
置数 |
百位档相加 |
十位档相加 |
个位档相加 | |||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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→ |
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- 口诀
可辅助学习,熟练后亦可不用。
加数 | 不进位加 | 进位加 | ||
直加 | 满五加 | 进十加 | 破五进十加 | |
一 | 一上一 | 一下五去四 | 一去九进一 | |
二 | 二上二 | 二下五去三 | 二去八进一 | |
三 | 三上三 | 三下五去二 | 三去七进一 | |
四 | 四上四 | 四下五去一 | 四去六进一 | |
五 | 五上五 | 五去五进一 | ||
六 | 六上六 | 六去四进一 | 六上一去五进一 | |
七 | 七上七 | 七去三进一 | 七上二去五进一 | |
八 | 八上八 | 八去二进一 | 八上三去五进一 | |
九 | 九上九 | 九去一进一 | 九上四去五进一 |
以 +3 为例:
- “三上三”是指“(若下珠够加)直接上拨三颗”(=+3)。
- “三下五去二”是指“(若下珠不够加,且没有上珠),则拨下一颗上珠,去掉两伙下珠”(=+5-2)。
- “三去七进一”是指“(若下珠不够加,且有上珠),则去掉七,再高一位进一”(=+10-7)。
其中,“三下五去二”亦是成语中“三下五除二”的由来。
方法为同位值相减,不够借位,计算时由高位档向低位档依次相减。
(例)2756-957
置数 |
百位档相减 |
十位档相减 |
个位档相减 | |||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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→ |
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- 口诀
可辅助学习,熟练后亦可不用。
减数 | 不退位减 | 退位减 | ||
直减 | 破五减 | 退位减 | 退十补五减 | |
一 | 一去一 | 一上四去五 | 一退一还九 | |
二 | 二去二 | 二上三去五 | 二退一还八 | |
三 | 三去三 | 三上二去五 | 三退一还七 | |
四 | 四去四 | 四上一去五 | 四退一还六 | |
五 | 五去五 | 五退一还五 | ||
六 | 六去六 | 六退一还四 | 六退一还五去一 | |
七 | 七去七 | 七退一还三 | 七退一还五去二 | |
八 | 八去八 | 八退一还二 | 八退一还五去三 | |
九 | 九去九 | 九退一还一 | 九退一还五去四 |
以 -3 为例:
“三去三”是指“(若下珠够减)直接拨去三颗”(=-3)。 “三上二去五”是指“(若下珠不够减,且有上珠),则拨去上珠,并加上二颗下珠”(=-5+2)。 “三退一还七”是指“(若下珠不够减,且没有上珠),则更高一位减一,并加上七”(=-10+7)。
- 负数
遇到小数减大数时,可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁,也不靠框。其观念同计算机中的二补数。
基本原则就是,将乘数分解为每分数,分别乘上被乘数后相加。如:要计算 32×97
更进一步分解,
计算时,不用考虑位值,则只需计算一位×一位,如:30×90 ,只需计算 3×9 ,再加至百位即可。如此,可以先将每个一位×一位的结果先计算出来,此即为乘法口诀——九九歌。
而使用珠算计算时,因为数字都在盘面上,所以要考虑是否要将实(被乘数)、法(乘数)放置盘面上,放的位置(因计算结果会愈来愈长,可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响)、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法,主要有两大类:
- 看头乘法,被乘数、乘数放置盘面上。
- 看头乘法,又称见乘法,乘法速算法。
- 破头乘法,被乘数、乘数不放置盘面上。
- 破头乘法,又称头乘法
- 破头乘法别法,又称新头乘法,或称隔位乘法。
此外,另有一种技巧 凑倍乘法[3],古称金蝉脱壳,又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算,从而不需要九九乘法。
其基本想法为:“因为将每个乘数分解成多个一位数,最多只有 9 种可能(0 不用计算)”,而这 9 种可能,都可以改为“×1、×2、×5的某种组合”如:被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而“×1、×2、×5”这三种运算是容易心算的。
- 看头乘法
- 破头乘法
- 新头乘法
(例)32×97
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→ |
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→ |
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→ |
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32 | 算“2”字 | 2×90 | +2×7 | |||||||||||||||||||||||
→ |
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→ |
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→ |
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算“3”字 | +30×90 | +30×7 | =3104 |
- 凑倍乘法
方法跟长除法类似,即逐位(由高位向低位)来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商(或试商)和减积。
计算方法有:商除法、归除法、凑倍除法。
以约率为例。为简单起见,先以两个算盘(一个记录商,一个记录余)说明之。
(例)
- 第一位
置数 |
估商 估为 |
减积 |
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→ |
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→ |
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() |
() |
() |
() |
() |
() |
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- 第二位
估商 估为 |
减积 |
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→ |
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→ |
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() |
() |
() |
() |
() |
() |
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- 第三位
估商 估为 |
减积 |
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→ |
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→ |
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() |
() |
() |
() |
() |
() |
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得到 。
而实际在计算时,会使用一个算盘同时放置商数和余数,就是分区放。要如何有效利用有限的档位,又不影响计算,其规律就是够除,隔位置商;不够除,挨位置商。
以密率为例,说明完整的商除法。
以 为例
- 第一位
置数 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||
" |
" |
" |
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- 第二位
前次结果 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" |
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- 第三位
前次结果 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第四位
前次结果 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第五位
前次结果 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第六位。注意,这位是不够除,挨位置商。
前次结果 |
估商 估为 。不够除,挨位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第七位。
前次结果 |
估商 估为 。够除,隔位置商。 |
减积 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" |
" |
" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
得
- 修正商
计算过程中,若发现所估的商过大,则要退商;若估商太小,则要补商。
其基本想法是,将一些可能的除算先计算出结果,并将商与除数化作口诀,来加速计算除法。
除数为一位的称为单归法,除数为多位的,则为归除法。
目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》:“
一归如一进、见一进成十;
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十;
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十;
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十;
五归添一倍、逢五进成十;
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十;
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十;
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十;
九归随身下、逢九进成十
”
整个歌诀的作用为,“罗列所有被除数及除数的首数的可能,得出商数和余数”。
以三一三十一为例,第一个数字为三,是除数的首数为三,第二个数字为一,是被除数首数为一,数字虽为 1,但计算的是 。
而三十一意指商为 3 ,余为 1。同样的,三二六十二是指。逢三进成十是指。
有些语句是用下加几来表示,是指商数不变(与被除数首数相同),余数则为那个几。以七二下加六为例,。
五归添一倍是指“用 5 去除一个数,相当于此数加倍”(如:)
其中,部分口诀,也成了成语。如二一添作五意味两者平分,三一三十一意味三者平分。
- 其他版本
也有几种不同的版本,如简化版:“
一归如一进,见一进成十;
二一添作五,逢二进成十;
三一三十一,三二六十二,逢三进成十;
四一二十二,四二添作五,四三七十二,逢四进成十;
五归添一倍,逢五进成十;
六一下加四,六二三十二,六三添作五,六四六十四,六五八十二,逢六进成十;
七一下加三,七二下加六,七三四十二,七四五十五,七五七十一,七六八十四,逢七进成十;
八一下加二,八二下加四,八三下加六,八四添作五,八五六十二,八六七十四,八七八十六,逢八进成十;
九归随身下,逢九进成十。
”
或者,改为更易理解的语句,如将“三一三十一”改为“三一三余一”,“逢三进成十”改为“逢三进一”。如:“
一归:逢一进一,逢二进二,逢三进三,逢四进四,逢五进五,逢六进六,逢七进七,逢八进八,逢九进九。
二归:逢二进一,逢四进二,逢六进三,逢八进四,二一添作五。
三归:逢三进一,逢六进二,逢九进三,三一三余一,三二六余二。
四归:逢四进一,逢八进二,四二添作五,四一二余二,四三七余二。
五归:逢五进一,五一倍作二,五二倍作四,五三倍作六,五四倍作八。
六归:逢六进一,逢十二进二,六三添作五,六一下加四,六二三余二,六四六余四,六五八余二。
七归:逢七进一,逢十四进二,七一下加三,七二下加六,七三四余二,七四五余五,七五七余一,七六八余四。
八归:逢八进一,八四添作五,八一下加二,八二下加四,八三下加六,八五六余二,八六七余四,八七八余六。
九归:逢九进一,九一下加一,九二下加二,九三下加三,九四下加四,九五下加五,九六下加六,九七下加七,九八下加八。
”
以约率为例。
(例)
置数 | 七二下加六
商设为 下一档 |
逢七进一
商 本档。 |
七一下加三
商设为 下一档 |
七三四余二
商设为 下一档 | ||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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→ |
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→ |
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" | " | " | " | " | ||||||||||||||||||||||||
得
跟单归法类似,也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。
以 为例,可以先用 300 来估商,因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积(如“三一三余一”中,余一的部分已加入下一档)。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念:除数的首数称为归,除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话,称作3归21除,意味着用 3归求商及其减积,再以 21 来完成乘下的减积。
减积后,有可能发现的估商需要调整。若过小,需要增商,这部分口诀中已包含“逢 n 进为十”;若过大,则需退商,则有退商口诀:
- 一归:无除起一下还一
- 二归:无除起一下还二
- 三归:无除起一下还三
- 四归:无除起一下还四
- 五归:无除起一下还五
- 六归:无除起一下还六
- 七归:无除起一下还七
- 八归:无除起一下还八
- 九归:无除起一下还九
这口诀有明显规律:“无除起(也有作“退”)一下还 n”,无需特别记忆。
另外,也有可能发现在某些情况(即除数、被除数差不多大,却又不够除时)下,无法估商,则使用撞归口诀:
- 一归:见一无除撞九一
- 二归:见二无除撞九二
- 三归:见三无除撞九三
- 四归:见四无除撞九四
- 五归:见五无除撞九五
- 六归:见六无除撞九六
- 七归:见七无除撞九七
- 八归:见八无除撞九八
- 九归:见九无除撞九九
这口诀也有明显规律:“见 n 无除撞(也有作“作”)九 n”,无需特别记忆。它的意思是,在“除数、被除数的首数同为 n,却又不够除,直接估商为 9,下一档要 +n”时。当首数相同,却又无法进 1 (代表 10),则估商就从 9 开始。减积后,需要在下一档 +n 。
以密率为例,因为除数为 ,故称之为“一归十三除”,相关口诀如下:
- 九归口诀:逢一进一,逢二进二,逢三进三,逢四进四,逢五进五,逢六进六,逢七进七,逢八进八,逢九进九。
- 退商口诀:无除起一下还一。
- 撞归口诀:见一无除撞九一。
(例)
- 第一位
置数 | 逢三进三
商为 |
以十三除减积
。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" | " | " | ||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第二位
前次结果 | 逢一进一
商为 |
以十三除减积
。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" | " | " | ||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第三位
前次结果 | 逢四进四
商为 |
以十三除减积
。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" | " | " | ||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第四位
前次结果 | 逢一进一
商为 |
以十三除减积
。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" | " | " | ||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第五位
前次结果 | 逢六进六
商为 |
以十三除减积
|
加回减积 | 退商
无除起一下还一 商为 ,下一档 |
以十三除减积
。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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→ |
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→ |
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→ |
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" | " | " | " | " | " | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第六位
前次结果 | 见一无除撞九一
商为 ,下一档 |
以十三除减积
。 | ||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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" | " | " | ||||||||||||||||||||||||||||||||
- 第七位
前次结果 | 逢三进三
商为 |
以十三除减积
|
加回减积 | 退商
无除起一下还一 商为 ,下一档 |
以十三除减积
。 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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→ |
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→ |
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→ |
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→ |
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→ |
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" | " | " | " | " | " | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
得 。
或称累减除法、大扒皮,首见于《九章详注比类算法大全》,是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。
开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅
验算
- 还原验算法
一、交换律
加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:加數+被加數=和數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:被減數-差數=減數 乘法算式:被乘數*乘數=積 驗算公式:乘數*被乘數=積
二、逆运算
加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:和數-加數=被加數 或 和數-被加數=加數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:差數+減數=被減數 乘法算式:被乘數*乘數=積 驗算公式:積/被乘數=乘數 除法算式:被除數/除數=商(及餘數) 驗算公式:(除數*商)+餘數=被除數
三、尾错复尾
只再計算最後幾位數一次
- 九余数法
只能验加法,减法,乘法和乘幂
范例一、 123+456=599
123=1+2+3=6(mod 9) 456=4+5+6=6(mod 9) 599=5+9+9=5(mod 9) 因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579
范例二、 123*456=68934
123=1+2+3=6(mod 9) 456=4+5+6=6(mod 9) 68934=6+8+9+3+4=3(mod 9) 因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088
范例三、 22*68*53=369780
22=4(mod 9) 68=5(mod 9) 53=8(mod 9) 369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9) 因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288
范例四、 23^4=367981
23^4=(-4)^4=4(mod 9) 367981=34=7(mod 9) 因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841
九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。
- 九除法
- 十一除法
- 二除法
珠算竞技
珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类,心算竞技是运用珠算式心算技巧。
参考文献
外部链接
参见
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