互素

互质（英文：Coprime，符号：⊥，又称互素、relatively prime、mutually prime、co-prime）^[1]。在数论中，如果两个或两个以上的整数的最大公约数是1，则称它们为互质^[2]。依此定义：

• 如果数域是正整数${\displaystyle \mathbb {N^{+}} }$，那么1与所有正整数互素^[3]。
• 如果数域是整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$，那么1和-1与所有整数互素^[4]，而且它们是仅有与0互素的整数^[5]。

两个整数a与b互素，记为a ⊥ b。

互素的例子

例如 8 与 10 的最大公约数是 2，不是 1，因此它们并不互质。
又例如 7, 10, 13 的最大公约数是 1，因此它们互质。

最大公因数可以通过辗转相除法得到。

整集互素与两两互素

三个或三个以上的整数互质有两种不同的情况：

• 这些整数的最大公约数是 1，我们直接称这些整数互素^[6]，也称为整集互素（英语：setwise coprime）^[7]。以 ${\displaystyle \{6,8,9\}}$ 为例：

${\displaystyle \gcd(6,8,9)=\gcd(\gcd(6,8),9)=\gcd(2,9)=1}$

• 这些整数是两两互质的（英语：pairwise coprime）。以 ${\displaystyle \{7,8,9\}}$ 为例:

${\displaystyle \gcd(7,8)=\gcd(7,9)=\gcd(8,9)=1\Rightarrow \gcd(7,8,9)=\gcd(\gcd(7,8),9)=\gcd(7,\gcd(8,9))=\gcd(\gcd(7,9),8)=1}$

两两互素是较为严格的互素，如果一个整数集合是两两互素的，它也必定是整集互素，但是整集互素不必然是两两互素，甚至可能两两皆不互素，例如${\displaystyle \gcd(6,15,10)=1}$，是整集互素，但${\displaystyle \gcd(6,15)=3}$、${\displaystyle \gcd(15,10)=5}$、${\displaystyle \gcd(10,6)=2}$，任两者皆不互素。

性质

性质之一：整数a和b互质当且仅当存在整数x,y使得xa+yb=1。 或者，一般的，有存在整数x,y使得xa+yb=d，其中d是a和b的最大公因数。（贝祖等式）

判别方法

1. 两个不同的素数一定互质。例如，2与7、13与19。
2. 一个素数，另一个不为它的倍数，这两个数互质。例如，3与10、5与 26。
3. 1和任何一个自然数都互质。如1和9908。
4. 相邻两个自然数互质。如15与16。
5. 相邻两个奇数互质。如49与51。
6. 较大数是素数，则两个数互质。如97与88。
7. 两数都是合数（二数差较大），较小数所有的素因数，都不是较大数的因数，这两个数互质。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的因数，故这两数互质。
8. 两数都是合数（二数差较小），这两数之差的所有素因数都不是较小数的因数，这两个数互质。如85和78。85－78=7，7不是78的因数，故这两数互质。
9. 两数都是合数，较大数除以较小数的余数（大于“1”）的所有素因数，都不是较小数的因数，则两数互质。如 462与 221，462÷221=2...20，20=2×2×5。2、5都不是221的因数，故这两数互质。
10. 辗转相除法。如255与182。255－182=73，182－（73×2）=36，73－（36×2）=1，则（255，182）=1。故这两数互质。

参考来源

1. Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
2. Number Theory in Science and Communication, p.28. [2014-10-19]. （原始内容存档于2014-10-19）.
3. Wiktionary - coprime （页面存档备份，存于互联网档案馆） 以正整数为数域来定义互素。
4. ProofWiki > Definition:Coprime/Integers. [2014-10-19]. （原始内容存档于2020-03-27）.
5. ProofWiki > Integers Coprime to Zero. [2014-10-19]. （原始内容存档于2020-03-27）.
6. StackExchange > a problem with coprime numbers. [2014-10-19]. （原始内容存档于2020-09-21）.
7. Algebra II: Chapters 4-7, p.14

外部参考

• Final Answers > Number Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 斯坦福大学离散结构讲义（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach, p.45（页面存档备份，存于互联网档案馆）