双心坐标系

在数学里，双心坐标系（英语：Two-center bipolar coordinates）是一种二维坐标系统。它有两个固定的心点，C₁ 与 C₂ 。任何平面上的一个点与两个心点之间的距离分别为这个点的两个坐标^[1]。在黑洞的二体碰撞问题里，采用双心坐标系，可以很精致地表达黑洞的轨道^[2][3]。

双心坐标系

直角座标系

直角座标系与极坐标系

从直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y)}$ 变换到双心坐标 ${\displaystyle (r_{1},\ r_{2})}$^[1] ：

${\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4a}}}$ 、

${\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4a}}{\sqrt {16a^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4a^{2})^{2}}}}$ ；

其中，双心坐标系的两个心点的坐标分别为${\displaystyle (-a,\ 0)}$ 与 ${\displaystyle (+a,\ 0)}$ 。

极坐标系

从极坐标 ${\displaystyle (r,\ \theta )}$ 变换到双心坐标 ${\displaystyle (r_{1},\ r_{2})}$ ：

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2}}{2}}}}$ 、

${\displaystyle \theta =\arctan \left[{\frac {\sqrt {8a^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2a^{2})-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2})^{2}}}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}\right]}$ 。

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). 雙心坐標系. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Adapted coordinates and spectral methods. (PDF). [2008-04-18]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）.
3. The periodic standing-wave approximation: nonlinear scalar fields, adapted coordinates, and the eigenspectral method.