立方素数

立方素数是由特殊的方程生成的素数。这种方程共有两组，都包含有变数x和y的立方项。A.J.C.坎宁安（A. J. C. Cunningham）首先研究了这种方程。

第一种生成立方素数的方程：${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1,y=1,2,\cdots }$

由上式产生的首几个素数是：7, 19, 37, 61, 127…（ A002407）

上式可以重写成${\displaystyle {\frac {(y+1)^{3}-y^{3}}{y+1-y}}}$，再简化成${\displaystyle 3y^{2}+3y+1}$，这正和中心六边形数的一般形式一模一样。即是说这类立方素数都是中心六边形数。截至2024年6月，最大的立方素数有3153105个数位，用上述方程描述的话就是${\displaystyle y=3^{3304301}-1}$，由Ryan Propper与Serge Batalov发现。^[1]

坎宁安的《对准梅森数的研究》（On quasi-Mersennian numbers''）曾对它们做过研究。

第二种生成立方素数的方程：${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2,y=1,2,\cdots }$

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801…（ A002648）

坎宁安的书《二元因数分解》（Binomial Factorisation）曾对它们进行研究。

参考资料

1. 3^6608603 - 3^3304302 + 1. PrimePages. [2024-07-17]. （原始内容存档于2024-04-09）.