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数学上,粗略来说,正规数(Normal Number)指,数字显示出随机分布,且每个数字出现机会均等的实数。“数字”指的是小数点前有限个数字(整数部分),以及小数点后无穷数字序列(分数部分)。
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设b是大于1的整数,x是实数。考虑以b为底的位值记数法中x的数字序列。若s是以b为底的有限数字序列,我们以N(s,n)表示字串s在x的开首n个数字出现次数。数x称为以b为底正规,若对任意长度k的字串s
(即是说在x的数字中找到字串s的概率,就像在完全随机生成的数字序列中的一样)。x称为正规数(有时称为绝对正规数),如果以任何b为底x都是正规。
这个概念是由埃米尔·博雷尔在1909年创造。用波莱尔-坎泰利引理,他证明了正规数定理:几乎所有实数是正规的,意思是非正规数集合的勒贝格测度为0。这定理证明存在正规数,但首先给出一个例子的是瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Wacław Sierpiński)。
非正规数集合是不可数的,这个结果容易得出,想法是从每个实数中完全除去一个数字。
钱珀瑙恩数(Champernowne)
是从连结所有自然数的数字而得出的数,它以10为底正规,但可能在某些底不是正规。
克柏兰-尔杜斯常数(Copeland-Erdős)
从连结所有质数的数字而得出的数,也是以10为底正规。
无论在任何底下均没有为正规数的有理数,因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韦罗妮卡·比彻(Verónica Becher)和桑蒂亚戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个可计算正规数;柴廷常数给出一个不可计算的正规数例子。
要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根、圆周率(2000年时数学家证明了π的2进数-正规性可以由一个有关混沌理论的合理但尚未证明的猜想导出[1] [2])、2的自然对数和e是否正规仍不知道。(但基于实验证据,猜想它们很可能是正规数。)证明仍遥不可及:就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利(David H. Bailey)和理查德·克兰德尔(Richard E. Crandall)在2001年猜想每个无理代数数是正规的,虽没有找到反例,却还没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。
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