无平方因子数

无平方因子数^[1]（英语：square-free integer）是指其约数中，没有一个是平方数的正整数。简言之，将一个这样的数予以素因数分解后，所有素因数的幂都不会大于或等于2。例如：54=${\displaystyle }$${\displaystyle 2\times 3^{3}}$，由于54有约数是平方数（${\displaystyle 3^{2}=9}$），所以54不是无平方因子数；而55=${\displaystyle }$${\displaystyle 5\times 11}$，55没有约数是平方数，所以55是无平方因子数。

以数学概念说明：若一个数${\displaystyle R}$是无平方因子数，则对于任意平方数${\displaystyle S^{2}}$且${\displaystyle S^{2}\leq R}$则${\displaystyle S^{2}\nmid R}$；或者说当${\displaystyle R=P_{1}P_{2}P_{3}...P_{n}}$且${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},...,P_{n}}$皆为素数时，对于任意${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$，${\displaystyle i\neq j}$而言，${\displaystyle P_{i}\neq P_{j}}$

另一方面，默比乌斯函数${\displaystyle \mu (n)\neq 0}$当且仅当${\displaystyle n\geq 1}$且${\displaystyle n=1}$或${\displaystyle n}$为无平方因子数时

前20个无平方约数的数是：1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31（OEIS数列A005117）

由于无平方因子数的所有素因数指数均为一次方，故除1以外，有关数的正约数数目必定是2的非负整数次方。

将无平方因子数分解为两数之积，这两数一定互素。^{[查证请求][来源请求][原创研究？]}

依定义，显然所有的素数、楔形数、素数阶乘与有4个正约数的半素数都是无平方因子数。

不含平方因子的数的分布

如果用Q(x)来表示1和x之间的不含平方因子的数，则：

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})}$

因此，不含平方因子的数的自然密度为：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}$

其中ζ是黎曼ζ函数。

类似地，如果用Q(x,n)来表示1和x之间的不含n次方因子的数，则我们可以证明：

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x,n)}{x}}={\frac {1}{\zeta (n)}}.}$

参考文献

1. 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 703. ISBN 9787302098935. square-free number 无平方因子数