多循环群

数学上，多循环群是符合子群的极大条件的可解群。（子群的极大条件，即任何由子群组成的集合中都存在极大元。这等价于任何子群都是有限生成的。）多循环群都是有限展示的。

名称

多循环群的一个等价定义为：群G有次正规序列

${\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \cdots \triangleright G_{n}=\{1\}}$

使得${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$都是循环群，${\displaystyle i=0,\cdots ,n-1}$。

若定义中${\displaystyle n\leq 2}$，则称G为亚循环群。

例子

• 有限生成的阿贝尔群
• 有限生成的幂零群
• 有限的可解群

Anatoly Maltsev证明了整数一般线性群的可解子群是多循环群。后来Louis Auslander证明了任何多循环群都是同构于一个整数矩阵群。^[1]多循环群的全形也是整数矩阵群。

参考

1. Dmitriĭ Alekseevich Suprunenko, K. A. Hirsch, Matrix groups (1976), pp. 174–5; Google Books （页面存档备份，存于互联网档案馆）.