公理化集合论

在数学中，公理化集合论是集合论透过建立一阶逻辑的严谨重整，以解决朴素集合论中出现的悖论。集合论的基础主要由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末建立。

严谨集合论的源起

集合论的公理

集合论中其中一套由Skolem最后整理的公理系统，称为Zermelo-Fraenkel集合论（ZF）。实际上，这个名称通常不包括历史上远比今天具争议性的选择公理，当包括了选择公理，这套系统被称为ZFC。

1. 外延公理：（Axiom of extensionality）两个集合相同，当且仅当它们拥有相同的元素。
2. 分类公理：（Axiom schema of specification / axiom schema of separation / axiom schema of restricted comprehension）或称子集公理，给出任何集合及命题P(x)，存在着一个原来集合的子集包含而且只包含使P(x)成立的元素。
3. 配对公理：（Axiom of pairing）假如x, y为集合，那就有另一个集合{x,y}包含x与y作为它的仅有元素。
4. 并集公理：（Axiom of union）每一个集合也有一个并集。也就是说，对于每一个集合x，也总存在着另一个集合y，而y的元素也就是而且只会是x的元素的元素。
5. 空集公理：存在着一个不包含任何元素的集合，我们记这个空集合为{ }。可由分类公理得出。
6. 无穷公理：（Axiom of infinity）存在着一个集合x，空集{ }为其元素之一，且对于任何x中的元素y，y ∪ {y}也是x的元素。
7. 替代公理：（Axiom schema of replacement）
8. 幂集公理：（Axiom of power set）每一个集合也有其幂集。那就是，对于任何的x，存在着一个集合y，使y的元素是而且只会是x的子集。
9. 正规公理：（Axiom of regularity / Axiom of foundation）每一个非空集合x，总包含着一元素y，使x与y为不交集。
10. 选择公理：（Axiom of choice，Zermelo's version）给出一个集合x，其元素皆为互不相交的非空集，那总存在着一个集合y（x的一个选择集合），包含x每一个元素的仅仅一个元素。

命题在ZFC中的独立性

引用

• Keith Devlin, 1992. The Joy of Sets, 2nd ed. Springer-Verlag.
• Potter, Michael, 2004. Set Theory and Its Philosophy. Oxford Univ. Press. ISBN 0-19-927041-4.
• Suppes, Patrick, 1972. Axiomatic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

参见

• 可替代的集合论
• ℶ 数
• 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理
• 对角论证法
• 康托尔定理
• Implementation of mathematics in set theory
• Internal set theory
• Kripke-Platek set theory with urelements
• List of set theory topics
• 模型论
• Morse-Kelley set theory
• 朴素集合论
• 新基础集合论
• Simple theorems in the algebra of sets
• 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论
• Zermelo-Fraenkel 集合论
• 佐恩引理
• 公理化数学
• ZFC系统无法确定的命题列表

外部链接

• Metamath （页面存档备份，存于互联网档案馆）: A web site devoted to an ongoing derivation of mathematics from the axioms of ZFC and first-order logic. Principia Mathematica done right.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Set Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Jech.
  • Quine's New Foundations （页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Forster.
  • Alternative axiomatic set theories^{[失效链接]} -- by Randall Holmes.
• Randall Holmes's bibliography （页面存档备份，存于互联网档案馆） for set theories allowing a universal set.
• Mathias, A. R. D., 2004, "The Strength of Mac Lane Set Theory." Surveys, and sets out new results and new proofs for old results, for a number of alternatives to ZFC, including ZBQC (proposed by Saunders Mac Lane), topos theory, Kripke-Platek set theory, Foster-Kaye set theory, Harvey Friedman, and systems similar to 新基础集合论.
• Axioms of Set Theory at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）

For information on the history of set theory notation, see:

• The history of set theory and logic notation.