充分必要条件

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充分必要条件，简称充要条件，是逻辑学中用于描述两个陈述之间的条件关系或包含关系的术语。

处于紫色区域是处于A区域的充分条件，但并非必要条件；处于A区域是处于紫色区域的必要条件，但并非充分条件；处于A和B区域是处于紫色区域的充分必要条件。

在逻辑学中：

• 当命题“若P则Q”为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。

因此：

• 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。
• 当命题“若P则Q”为真，而“若Q则P”为假时，我们称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。

必要条件

P是Q的必要条件，代表“如果P是假，则Q是假”。

以逻辑符号表示：

${\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}$

通过否定后件，得出“如果Q是真，则P是真”。

${\displaystyle Q\rightarrow P}$

• 例子1：对于大于2的整数，奇数是成为素数的必要条件。如果一个整数大于2且是素数，它必定是奇数。
• 例子2：年满30岁是成为美国参议员的必要条件。如果他是参议员，他必定年满30岁。

充分条件

P是Q的充分条件，代表“如果P是真，则Q是真”或“如果Q是假，则P是假”。

以逻辑符号表示：

${\displaystyle P\rightarrow Q}$

• 例子1：一个数字能被4整除，是成为偶数的充分（但不必要）条件。能被2整除，则是充分及必要条件。

必要条件及充分条件

P是Q的充分及必要条件，代表“当且仅当P是真，则Q是真”。

以逻辑符号表示：

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

留意 ${\displaystyle \lnot P\rightarrow \lnot Q}$ 可以推出 ${\displaystyle Q\rightarrow P}$。

${\displaystyle (\lnot P\rightarrow \lnot Q)\land (P\rightarrow Q)}$

${\displaystyle (Q\rightarrow P)\land (P\rightarrow Q)}$

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

举例

1.若P表“人类生存”，Q表“人类呼吸”

${\displaystyle \lnot Q\rightarrow \lnot P}$

${\displaystyle P\rightarrow Q}$

此时呼吸是生存的必要条件，生存是呼吸的充分条件，因为活着的人一定要呼吸，

${\displaystyle Q\rightarrow P}$（错误）

然而呼吸并非生存的充分条件，生存并非呼吸的必要条件，因为只会呼吸并不足以让人生存下去，

故P为Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件。

2.若P表“三角形三边长相等”，Q表“三角形三内角相等”

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

此时这2个条件互为“充分（且）必要条件”。^[1]

3.若P表“正整数x是完全平方数”，Q表“正整数x的正约数个数是奇数”

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$

此时这2个条件互为“充分（且）必要条件”。

参考文献

1. 充分條件Sufficient Condition. 国家教育研究院. 新北市三峡区: 中华民国教育部. [2014-06-19]. （原始内容存档于2021-06-06）.

参见

前件 后件 实质条件 当且仅当

有效论证 肯定前件 否定后件

无效论证 否定前件 肯定后件 谬误

外部链接

• 西门菲莎大学：概念实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）