依赖选择公理

在数学上，依赖选择公理（${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$，英语：Axiom of dependent choice）是选择公理（${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$）较弱的版本，但依赖选择公理依旧足以发展实分析绝大多数的内容。依赖选择公理最早由保罗·伯奈斯（英语：Paul Bernays）于1942年一篇讨论哪些集合论公理对发展数学分析是必要的文章中引入。^[a]

正式描述

若一个${\displaystyle X}$上的齐次关系（英语：homogeneous relation）${\displaystyle R}$被称作全关系，则对于所有的${\displaystyle a\in X,}$而言，皆存在有一个${\displaystyle b\in X}$，使得${\displaystyle a\,R~b}$成立。

依赖选择公理的表述如下： 对于任意非空集合${\displaystyle X}$及任意${\displaystyle X}$上的全关系${\displaystyle R}$而言，皆存在有一个${\displaystyle X}$上的序列${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，使得以下陈述成立：

对于任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$而言，${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$

若限制上述的${\displaystyle X}$为所有实数的集合，那相关公理可表记为${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

应用

即使在没有这条公理的状况下，对于任意的${\displaystyle n}$，依旧可用一般的数学归纳法造出如此序列的最前面${\displaystyle n}$项；而依赖选择公理说的是我们可用此种方式造出整个（可数无限的）序列。

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$这条公理是${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$的片断，而在“必须于每一步都做出选择”且“一些选择无法在不仰赖先前选择的情形下独立做出”的状况下证明“存在有可以可数长度的超限递归建构的序”列时，这条公理是必须的。

等价陈述

在策梅洛-弗兰克尔集合论${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$等同于完备度量空间上的贝尔纲定理。^[1]

在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，这公理也等价于勒文海姆–斯科伦定理。^[b][2]

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下也与“所有有${\displaystyle \omega }$层且剪枝过的树（英语：pruned tree）都有分支（英语：Branch (descriptive set theory)）”这陈述等价。

不仅如此，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$也与弱化版的佐恩引里等价；特别地，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$与“任何使得所有良序链都有限且有界的偏序，都必然有极大元素”这叙述等价。^[3]

${\displaystyle \,{\mathsf {DC}}\iff }$ 所有有ω层且剪枝过的树都有分支的证明

${\displaystyle (\,\Longleftarrow \,)}$设${\displaystyle R}$是${\displaystyle X}$上的完整二元关系（entire binary relation），那么此处的策略是定义一棵${\displaystyle X}$上有限序列的树${\displaystyle T}$，而这棵树的邻近元素满足${\displaystyle R}$这关系。在这种状况下，${\displaystyle T}$的其中一个分支是邻近元素满足${\displaystyle R}$这关系的无限序列。我们先从定义“若对于${\displaystyle 0\leq k<n.}$而言，${\displaystyle x_{k}R\,x_{k+1}}$，则${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T}$”开始，由于${\displaystyle R}$是完整二元关系之故，因此${\displaystyle T}$是一棵具有${\displaystyle \omega }$层且剪枝过的树，因此${\displaystyle T}$有${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .}$这分支，因此对于所有的${\displaystyle n\geq 0\!:}$而言，${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,}$，而这蕴含了${\displaystyle x_{n}R\,x_{n+1}.}$，因此${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$为真。 ${\displaystyle (\,\Longrightarrow \,)}$ 设${\displaystyle T}$是一棵位于${\displaystyle X}$上具有${\displaystyle \omega }$层的剪枝过的树，那么此处的策略是定义${\displaystyle T}$上的二元关系${\displaystyle R}$，而这关系使得${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$导出${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle }$这样的序列，而在这序列中，${\displaystyle t_{n}R\,t_{n+1}}$且${\displaystyle f(n)}$是一个严格递增函数；而在这种状况下，无穷序列${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$是一个分支。（要证明这点，只需要对${\displaystyle f(n)=m+n.}$进行证明）我们先定义“若${\displaystyle u}$是${\displaystyle v}$的始序列（initial subsequence），且${\displaystyle \operatorname {length} (u)>0,\,}$且${\displaystyle \operatorname {length} (v)=}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (u)+1.}$，则${\displaystyle u\,R\,v}$”开始，由于${\displaystyle T}$是一棵具有${\displaystyle \omega }$层的剪枝过的树枝故，所以${\displaystyle R}$是个完整关系；因此${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$蕴含说存在有无限序列${\displaystyle t_{n}}$使得${\displaystyle t_{n}\,R\,t_{n+1}}$，因此对于一些${\displaystyle m\geq 0.}$而言，${\displaystyle t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle }$。设${\displaystyle x_{m+n}}$${\displaystyle t_{n}.}$的最终元素，那么${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .}$。对于所有的${\displaystyle k\geq 0,}$而言${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle }$这序列属于${\displaystyle T}$。由于这是${\displaystyle t_{0}\,(k\leq m)}$的的始序列，或者是一个${\displaystyle t_{n}\,(k\geq m)}$之故，因此${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$是一个分支。

与其他公理的关系

和完整版的${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$不同的是，${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$在${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$的框架下，不足以证明说有些实数集是不可测集，也不足以证明有些实数集合不具有贝尔性质或完美集性质（英语：perfect set property）；而由于梭罗维模型满足${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$，且在此模型中所有的实数集合都是勒贝格可测集、都具有贝尔性质和完美集性质之故，因此这说法成立。

依赖选择公理蕴含可数选择公理，且严格强于可数选择公理。^[4][5]

注解

1. "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-23）. The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
2. Moore states that "Principle of Dependent Choices ${\displaystyle \Rightarrow }$ Löwenheim–Skolem theorem" — that is, ${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3.