高维代数

在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。

高维范畴

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定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。^{[1] [2][3]}

更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。^[4][5][6][7]

因此，超范畴可被视作元范畴、^[8]多范畴、多图或有色图。 超范畴的概念于1970年被首次提出，^[9]随后在理论物理（特别是量子场论和拓扑量子场论）、数理生物学及数理生物物理学中得到了应用。^[10]

高维代数中的其他途径涉及：弱2-范畴、弱2-范畴的同态、可变范畴（又称索引或参数化范畴）、拓扑斯、增广范畴 以及内范畴。

二维广群

主条目：二维广群

高维代数中，二维广群是一维广群的推广，^[11]后一种广群可视为所有态射都可逆的特殊范畴。

二维广群通常用来捕捉几何对象的信息，如高维流形（或n维流形）。^[11]一般来说，一个n维流形是在局部上像是n维欧几里得空间的空间，而整体结构可能是非欧的。

1976年，罗纳德·布朗在ref.^[11] 中首先提出了二维广群，并进一步发展了它在非阿贝尔代数拓扑中的应用。^{[12][13][14][15]}与其相关的“双”概念指的是二维李代数胚，以及更一般的R代数体概念。

非阿贝尔代数拓扑

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应用

理论物理

在量子场论中有量子范畴^[16][17][18]和量子二维广群。^[18]我们可以把量子二维广群看作是通过2-函子定义的基本广群，这样就可由弱2-范畴Span(Groupoids)的视角思考量子基本广群（QFGs）这一物理上有意义的情况，然后为流形和配边构造2-希尔伯特空间和2-线性映射。下一步，我们将通过此类2-函子的自然变换来获得带角的配边。于是有说法称，在规范群SU(2)的作用下，“扩展的拓扑量子场论可以给出等同于量子引力的蓬扎诺-雷其模型的理论”；^[18]相似地，图拉耶夫-维罗模型也可以通过SU_q(2)的表示得到。因此，我们可以用对称性给出的变换广群来描述规范理论——或者许多种量子场论（QFTs）及局域量子物理的状态空间。例如，对于规范理论的情况，我们可以用作用于状态的度规变换来描述状态空间，在这种情况下状态就是连接。在与量子群相关的对称性的情况下，我们会得到量子广群的表示范畴（representation category）的结构，^[16]而非广群的表示范畴的2-向量空间。

另见

• 数学主题

• 高阶范畴
• 李代数胚
• 二阶广群
• 非阿贝尔几何
• 非交换几何
• 格罗滕迪克伽罗瓦理论
• 格罗滕迪克拓扑
• 拓扑动力学
• 范畴动力学
• 交叉模
• 伪代数

在量子物理领域的应用：

• 量子代数拓扑
• 量子几何
• 量子引力
• 量子群
• 拓扑量子场论
• 代数量子场论

参考文献

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阅读更多

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