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电磁场的动力学理论》(英语:A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field)是一篇詹姆斯·麦克斯韦发于1864年的论文,这篇论文是他所写的第三篇关于电磁学的论文[1]。在这篇论文里,他首次系统性地陈列出麦克斯韦方程组。麦克斯韦又应用了先前在他的1861年论文《论物理力线》里提出的位移电流的概念,来推导出电磁波方程[2]。由于这导引将电学磁学光学联结成一个统一理论。这创举现在已被物理学术界公认为物理学史的重大里程碑。

这篇论文明确地阐明,能量储存于电磁场内。因此,它在历史上首先建立了场论的基础概念。[3]

麦克斯韦原本的方程

在这篇论文的标题为电磁场一般方程的第三章里,麦克斯韦列出了涉及二十个未知量的二十个方程,在那时期,称为麦克斯韦方程组。由于矢量微积分尚在发展中,这二十个方程都是以分量形式表示,其中,有十八个方程可以用六个矢量方程集中表示(对应于每一个直角坐标,有一个方程),另外剩下的两个是标量方程。所以,以矢量标记,麦克斯韦方程组可以表示为八个方程。1884年,从这八个方程,奥利弗·亥维赛重新编排出四个方程,并且称这一组方程为麦克斯韦方程组。今天广泛使用的麦克斯韦方程组就是亥维赛编成的这一组方程。

亥维赛版本的麦克斯韦方程组是以现代矢量标记法写出。在原先版本的八个方程里,只有一个方程,高斯定律的方程(G),完整不变地出现于亥维赛版本。另外一个在亥维赛版本的方程,乃是由总电流定律的方程(A)与安培环路定理的方程(C)共同凑合而成。这方程包含了麦克斯韦的位移电流,是安培环路定理的延伸。

以矢量标记,麦克斯韦方程组的原先版本的八个方程,分别写为

(A) 总电流定律
(B) 磁场方程
(C) 安培环路定理
(D) 洛伦兹力方程
(E) 电弹性方程
(F) 欧姆定律
(G) 高斯定律
(H) 连续方程
标记符号:
磁场强度
传导电流密度
是总电流密度(包括位移电流密度),
电位移
自由电荷密度,
磁矢势
电场
电势
磁导率
电容率
电导率

关于介质的性质,麦克斯韦并没有试着处理比较复杂的状况。他表述的主要是线性、均向性、非色散性物质;他也稍微谈到一些有关异向性的晶体物质的问题。

值得注意的是,麦克斯韦将 项目包括于他的合势方程(D)。这项目表达一个以速度 移动的导体所感受到的单位电荷的磁场力而产生的动生电动势。这意味着合势方程(D)表达了洛伦兹力。这方程最先出现为论文《论物理力线》的方程(77),比洛伦兹想到这问题早了很多年。现在,洛伦兹力方程列为麦克斯韦方程组之外的额外方程,并没有被包括在麦克斯韦方程组里面。

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光波是电磁波

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麦克斯韦,电磁学之父

在论文《电磁场的动力学理论》里,麦克斯韦应用了的1861年论文《论物理力线》第三节里对于安培环路定理的修正,将位移电流与其它已成立的电磁方程合并,因而得到了描述电磁波的波动方程。最令人振奋的是,这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他于是说[4]

这些殊途一致的结果,似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性,光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。
— 詹姆斯·麦克斯韦

麦克斯韦在对于光波是一种电磁现象的推导里,并没有使用法拉第电磁感应定律,而是使用方程(D)来解释电磁感应作用。由于不考虑导体的运动,项目 可以被删除。事实上,他的八个方程里,并没有包括法拉第电磁感应定律方程在内。

由于麦克斯韦的推导比较冗长,现代的教科书已不再采用这推导,改而选择另一种比较简易了解的推导,这推导主要是使用麦克斯韦-安培定律(安培环路定理的延伸)与法拉第电磁感应定律。

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麦克斯韦的推导

假设电磁波是一个平面波,以波速 向正z-轴的方向传播于某介质,则描述此电磁波的每一个函数都拥有参数 。根据磁矢量定义式(B),

其中,磁感应强度的定义式。

注意到 , 还有, 垂直于平面波的传播方向,这电磁波是个横波

根据安培环路定理(C),

假设介质是个绝缘体,传导电流密度 等于零,则根据总电流定律(A)和电弹性方程(E),

假设导体的速度等于零,即动生电动势项目等于零,则根据合势方程(D),

再应用磁矢量定义式(B),就可以得到磁场的波动方程:

链式法则要求

所以,

传播的速度为

设定磁导率为磁常数 ,电容率为电常数 ,则传播速度是电磁波传播于自由空间的速度。

类似地,应用合势方程(D),可以得到电场的波动方程:

注意到, 可能不等于零。在尚未更清楚了解电荷密度的性质之前,麦克斯韦不排除电场波为纵波的可能性。

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现代推导

自由空间里,亥维赛版的麦克斯韦方程组的四个微分方程为

(1)
(2)
(3)
(4)

其中,磁常数电常数

分别取公式 (2) 、(4) 的旋度

应用一则矢量恒等式

其中, 是任意矢量函数。

将公式 (1) 、(3) 代入,即可得到波动方程:

(5)
(6)

其中, [米/秒]是电磁波传播于自由空间的速度。

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参阅

参考文献

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