双心多边形

在几何学中，双心多边形是指同时存在内切圆和外接圆的多边形，换句话说即存在一个圆，能使该多边形的每条边与之相切；也存在另一个圆，能使该多边形的顶点皆落在该圆上。

一个双心五边形，同时也属于圆内接五边形和圆外切五边形

双心多边形是一个自身对偶多边形，即其对偶多边形为自己本身，且同时属于圆内接多边形和圆外切多边形。所有三角形和任意边数的正多边形都是双心多边形。另一方面，具有边长不相等的矩形不是双心多边形，因为没有圆可以与所有四个边相切。

双心三角形

所有三角形都同时拥有内切圆和外切圆，因此所有三角形皆为双心多边形^[1]。 在任意三角形中，皆可以找到内切圆半径r和外切圆半径R，且它们存在下列等式：

${\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

其中，x表示内切圆圆心和外切圆圆心的距离，即内心和外心的距离^[2]。这个等式可以视为欧拉三角形公式的其中一个版本。

双心四边形

主条目：双心四边形

在所有四边形中，并非所有四边形都可以同时拥有内切圆和外接圆，换句话说并非所有四边形都是双心多边形，而同时拥有内切圆与外接圆的四边形称为双心四边形。

给定2个圆，其中一个圆位于另一个圆内时，假设大圆半径为R、小圆半径为r，若当中存在一个凸四边形，满足每条边与小圆相切、且顶点皆位于大圆上时，则其满足下列式子，反之亦然。^[3][4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

其中，x为两圆心之距离^[2][6]。则这个四边形为双心四边形。这种性质称为Fuss定理^[7]。

边数超过4的双心多边形

令外接圆圆心为R、内切圆圆心为r、内心与外心距离为x、n为多边形的边数，更复杂的双心多边形通式为^[8]：

${\displaystyle n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

其中${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$、${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}}$。

参见

• 圆内接多边形
• 圆外切多边形

参考文献

1. Gorini, Catherine A., The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing: 17, 2009 [2018-12-22], ISBN 9780816073894, （原始内容存档于2016-12-23）.
2. Reiman, István, International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press: 170–171, 2005, ISBN 9781843312000.
3. Dörrie, Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. 1965: 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2.
4. Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1]^{[永久失效链接]}, 1998, pp. 158-164.
5. Salazar, Juan Carlos, Fuss's Theorem, Mathematical Gazette, 2006,, 90 (July): 306–307.
6. Davison, Charles, Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited: 98, 1915 [2018-12-28], （原始内容存档于2016-12-23）.
7. Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications: 192, 1965 [2018-12-28], ISBN 9780486613482, （原始内容存档于2014-06-17）.
8. Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Bicentric polygon. MathWorld.