欧拉定理 (几何)

在平面几何学中的欧拉定理是说，三角形的外心与内心之间的距离${\displaystyle d}$ 可表示为

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$

提示：此条目页的主题不是欧拉公式或欧拉定理 (数论)。

${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

其中${\displaystyle R}$为外接圆半径，${\displaystyle r}$为内切圆半径。

从欧拉定理可推出欧拉不等式 (当三角形等边时，等号成立)：

${\displaystyle R}$ ≥ ${\displaystyle 2r.}$

证明

(1)当${\displaystyle d=0}$时，表示外心${\displaystyle O}$与内心${\displaystyle I}$重合，此时易证三角形${\displaystyle \displaystyle ABC}$为正三角形，且${\displaystyle R=2r}$，因此${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。

(2)当${\displaystyle d}$大于${\displaystyle 0}$时，请参考右下图：

(a)设三角形${\displaystyle ABC}$的外心为${\displaystyle O}$，内心为${\displaystyle I}$，延长${\displaystyle AI}$交外接圆于${\displaystyle L}$，则${\displaystyle L}$为弧${\displaystyle BC}$的中点。连${\displaystyle LO}$延长交外接圆于${\displaystyle M}$，过${\displaystyle I}$作${\displaystyle ID}$垂直于${\displaystyle AB}$，${\displaystyle D}$为垂足，则${\displaystyle ID=r}$。易证三角形${\displaystyle \displaystyle ADI}$与三角形${\displaystyle \displaystyle MBL}$相似，故${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$，即${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$。所以${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$。

(b)连接${\displaystyle \displaystyle BI}$，因

${\displaystyle \angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$，

${\displaystyle \angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}}$，

所以${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$，有${\displaystyle \displaystyle BL=IL}$，由(a)的结论知${\displaystyle AI\cdot IL=2Rr}$。

(c)设${\displaystyle \displaystyle OI}$延长线交外接圆于${\displaystyle \displaystyle P,\;\displaystyle Q}$ 两点，则${\displaystyle PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr}$，所以${\displaystyle \displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$，即${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。