陈-高斯-博内定理

在数学中，陈定理（或陈–高斯–博内定理，英语：Chern–Gauss–Bonnet theorem）以数学家陈省身、卡尔·弗里德里克·高斯、皮埃尔·奥西恩·博内（英语：Pierre Ossian Bonnet）的名字命名。此定理断言：2n维黎曼流形的欧拉示性数可以从曲率计算出来。陈定理也是高斯–博内定理（n=1）在高维的推广，其在数学和理论物理学中亦有许多应用。此定理由陈省身于1945年证出。陈定理将全局拓扑学与局部微分几何联系起来。^[1]

定理

若M是2n维的黎曼流形，陈定理为：^[2][3]

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

${\displaystyle \chi (M)}$是M的欧拉示性数, ${\displaystyle \Omega }$是M的曲率形式, 欧拉类${\displaystyle e(\Omega )}$则定义为

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$是普法夫值。^[4]

其他连结

• 陈类
• 阿蒂亚－辛格指标定理

参考资料

1. Chern, Shiing-shen. On the Curvatura Integra in a Riemannian Manifold. The Annals of Mathematics. October 1945, 46 (4): 674–684. JSTOR 1969203. doi:10.2307/1969203.
2. Morita, Shigeyuki. Geometry of Differential Forms. Translations of Mathematical Monographs 201. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2001-08-28. ISBN 9780821810453. doi:10.1090/mmono/201.
3. Schrödinger operators, with applications to quantum mechanics and global geometry. Cycon, H. L. (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlin: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0387167589. OCLC 13793017.
4. Bell, Denis. The Gauss–Bonnet theorem for vector bundles. Journal of Geometry. September 2006, 85 (1-2): 15–21. arXiv:math/0702162 . doi:10.1007/s00022-006-0037-1.