辛几何 （英语：Symplectic geometry ），也叫辛拓扑 （英语：Symplectic topology ），是微分几何 的一个分支。其研究对象为辛流形 ，亦即带有闭 非退化 2-形式 的微分流形 。辛拓扑源于经典力学 的哈密顿表述 ，其中特定经典系统的相空间 有辛流形的结构。[ 1]
范德波尔振荡器 的相图 ，是1维系统。其相空间 是辛几何最初的研究对象。symplectic这个名词，是赫尔曼·外尔 所提出来的[ 2] 辛群 ）称为complex group，以带出line complex的含意。不过complex会令人联想起complex number（复数 ），因此他将complex改为对应的希腊文symplectic一词。complex源自拉丁文complexus一词，词根是co-（共同）+plexus（编织），意为“织在一起”，相对应希腊文词根是sym-plektikos（συμπλεκτικός），结合成symplectic一词。
由达布定理 ，辛流形局部同构于标准辛矢量空间 ，因此只有全局（拓扑）不变量。研究辛流形全局性质的“辛拓扑”常与“辛几何”交替使用。
辛几何定义在光滑偶数维微分流形 上，其上定义了几何对象，即辛2形式，可以测量空间 中2维物体的大小。辛形式之于辛几何中类似于度量张量 之于黎曼几何 ，度量张量测量长度与角度，而辛形式测量有向面积。[ 3]
辛几何来自经典力学 ，辛结构的一个例子是物体在1维中的运动。要指定物体的运动轨迹，需要知道位置矢量 q 和动量 p ，形成平面
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
p ,q )，这时，辛形式 为
ω
=
d
p
∧
d
q
{\displaystyle \omega =dp\wedge dq}
是面积形式 ，通过积分 度量了平面内区域S 的面积A ：
A
=
∫
S
ω
.
{\displaystyle A=\int _{S}\omega .}
保守动力系统 随时间演化时，这个区域是不变的，所以它很重要。[ 3]
高维辛几何的定义与之类似。2n 维辛几何由一对方向组成
(
(
x
1
,
x
2
)
,
(
x
3
,
x
4
)
,
…
(
x
2
n
−
1
,
x
2
n
)
)
{\displaystyle ((x_{1},x_{2}),(x_{3},x_{4}),\ldots (x_{2n-1},x_{2n}))}
在2n 维流形中的辛形式为
ω
=
d
x
1
∧
d
x
2
+
d
x
3
∧
d
x
4
+
⋯
+
d
x
2
n
−
1
∧
d
x
2
n
.
{\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dx_{2}+dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}
此辛形式得到空间中2n 维区域V 的大小，是V 在每对方向形成的平面上的投影面积之和[ 3]
A
=
∫
V
ω
=
∫
V
d
x
1
∧
d
x
2
+
∫
V
d
x
3
∧
d
x
4
+
⋯
+
∫
V
d
x
2
n
−
1
∧
d
x
2
n
.
{\displaystyle A=\int _{V}\omega =\int _{V}dx_{1}\wedge dx_{2}+\int _{V}dx_{3}\wedge dx_{4}+\cdots +\int _{V}dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}.}
辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量（称为度量张量 ）的流形的黎曼几何 有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况，辛流形没有像曲率 那样的局部不变量。这是达布定理 的一个结果，定理指出2n 维辛流形任意点的邻域与
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
M 是闭辛流形，则其第二德拉姆上同调 群
H
2
(
M
)
{\displaystyle H^{2}(M)}
N维球面 是2维球面 。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。黎曼几何中的测地线 与辛几何中的伪全纯曲线 也很相似：测地线是（局部）最短的曲线，而伪全纯曲线是面积最小的曲面。它们在各自学科中都起着基础性作用。
凯勒流形 都是辛流形。到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非凯勒辛流形，但从那以后又很多例子被构造出来（第一个由威廉·瑟斯顿 给出）；特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群 都可以作为辛4维流形的基本群 出现，这和凯勒的情形完全不同。
可以说大部分辛流形都是非凯勒的，所以没有和辛形式相容的可积复结构。但是米哈伊尔·格罗莫夫 有重要发现：辛流形可以接受很多相容的殆复结构 ，所以除了转移映射 必须是全纯 的这一条，辛流形满足凯勒流形的所有公理。
格罗莫夫利用辛流形上殆复结构的存在发展了伪全纯曲线的紧致性 定理[ 4] 球 到柱 的辛嵌入的格罗莫夫非压缩定理 哈密顿流 的不动点 的个数的阿尔诺德的一个猜想的证明。这是由从安德烈斯·弗洛尔 开始的几个研究者（逐步推广到更一般的情形）所证明的，弗洛尔用格罗莫夫的方法引入了现在称为弗洛尔同调 的概念。
伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源，这种不变量称为格罗莫夫–威滕不变量 ，原则上可以用来区分两个不同的辛流形。
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