动量映射

在数学，尤其在辛几何中，动量映射是一个与辛流形上的李群的哈密顿作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及symplectic cuts和sums。

正式定义

令 M 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 G 通过辛同胚作用在 M 上（也就是每个 G 中的 g 保持 ω ）。令 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 是 G 上的李代数，${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ 是它的对偶，且令

${\displaystyle \langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} }$

是两者间的pairing。任一${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$中的ξ诱导了 M 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场 ${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$ 在M上一点x是

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

其中 ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$ 是指数映射并且 ${\displaystyle \cdot }$ 表示 M 上的 G-作用。^[1]令 ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ 表示 向量场与 ω 的缩并。由于 G 通过辛同胚作用，它意味着对于 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 中所有的ξ，${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ 是闭形式。

一个在(M，ω)上的 G-作用的动量映射是一个映射 ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$，对于 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 中所有的ξ满足

${\displaystyle d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

。这里 ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$ 是通过 ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$ 定义的从 M 到 R 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 G-等价的，这里 G 通过余伴随作用作用在 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ 上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$，as first described by Souriau (1970).

哈密顿群作用

动量映射的定义要求 ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$是闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。G-作用被称作是哈密顿的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 中的每一个ξ，1-形式 ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega }$ 是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .}$

等于 ${\displaystyle dH_{\xi }}$ 。 如果这成立，那么我们可以选择 ${\displaystyle H_{\xi }}$ 使映射 ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$ 为线性。第二个使G-作用是哈密顿的要求是映射 ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$ 是一个从 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 到 M 在泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 G 在(M，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射 ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ，这样 ${\displaystyle H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle }$ 定义了一个李代数同态 ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$ 满足 ${\displaystyle \rho (\xi )=X_{H_{\xi }}}$. 这里 ${\displaystyle X_{H_{\xi }}}$ 是一个由哈密顿函数 ${\displaystyle H_{\xi }}$ 通过

${\displaystyle \iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.}$

定义的向量场。

例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1)，the Lie algebra dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ is naturally identified with R，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R³ and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，G is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R³. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. From the Hamiltonian condition it follows that ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$. Thus ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ and its quotient ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ equals the restriction of ω to ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted ${\displaystyle M/\!\!/G}$. Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.

参见

• Poisson-Lie group
• Toric manifold
• Geometric Mechanics
• Kirwan map

注释

1. The vector field ρ(ξ) is called sometimes the Killing vector field relative to the action of the one-parameter subgroup generated by ξ. See，for instance，(Choquet-Bruhat & DeWitt-Morette 1977)

参考资料

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
• S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
• Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.