费雪变换

费雪变换（英语：Fisher transformation）是统计学中用于相关系数假设检验的一种方法。对样本相关系数进行费雪变换后，可以用来检验关于总体相关系数ρ的假设。^[1][2]

费雪变换

定义

已知N组双变量样本(X_i, Y_i), i = 1, ..., N，样本相关系数r为

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}}}}$

于是，r的费雪变换可定义为

${\displaystyle z:={1 \over 2}\ln \left({1+r \over 1-r}\right)=\operatorname {arctanh} (r).}$

当(X, Y)为二元正态分布且(X_i, Y_i)对相互独立时，z近似为正态分布。其均值为

${\displaystyle {1 \over 2}\ln \left({{1+\rho } \over {1-\rho }}\right),}$

标准差为

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {N-3}}},}$

其中N是样本大小，ρ是变量X与Y的总体相关系数。

费雪变换及其逆变换

${\displaystyle r={{\exp(2z)-1} \over {\exp(2z)+1}}=\operatorname {tanh} (z),}$

可以用于构造ρ的置信区间。

参考文献

1. Fisher, R.A. Frequency distribution of the values of the correlation coefficient in samples of an indefinitely large population. Biometrika (Biometrika Trust). 1915, 10 (4): 507–521. JSTOR 2331838. doi:10.2307/2331838.
2. Fisher, R.A. On the `probable error' of a coefficient of correlation deduced from a small sample (PDF). Metron. 1921, 1: 3–32 [2015-09-03]. （原始内容存档 (PDF)于2021-02-12）.