在量子物理 中，费米黄金定则 是用来描述受一摄动 后量子系统从某个能量特征态 到一群连续能态的单位时间的跃迁概率公式。若摄动的强度不随时间变化，此单位时间跃迁概率亦不随时间变化，且正比于系统初始态和终末态间的耦合强度（由跃迁的矩阵元 态密度 。若终末态不是连续态的一部分，但这一跃迁过程中存在量子退相干 （例如原子弛豫过程，或摄动中存在噪声的情形），此定则也可以应用——此时公式中的态密度项应替换为末态退相干带宽的倒数。
虽然黄金定则以恩里科·费米 的名字命名，但推导该定则所涉大部分工作是由保罗·狄拉克 完成的——他在20年前就推出了包含三项（常数
2
π
ℏ
{\displaystyle {\frac {2\pi }{\hbar }}}
[ 1] [ 2] [ 3]
大多数文献提及费米黄金定则时，指的是“第二黄金定则”。费米“第一黄金定则”具有与第二定则相似的形式，但前者刻画的是每秒发生间接跃迁的概率。[ 4]
费米黄金定则描述一个有着未被扰动的哈密顿量 H 0 、处于初始态
|
i
⟩
{\displaystyle |i\rangle }
哈密顿量 H' H' H' 角频率 ω ħω
在此两种例子中，从初始态
|
i
⟩
{\displaystyle |i\rangle }
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
Γ
i
→
f
=
2
π
ℏ
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ρ
(
E
i
)
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{i})}
这里的
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }
H' 矩阵元素 狄拉克符号 ），而
ρ
(
E
i
)
{\displaystyle \rho (E_{i})}
E
i
{\displaystyle E_{i}}
态密度 （在无限小的能量区间
E
+
d
E
{\displaystyle E+dE}
平均寿命 的倒数。因此，测得系统处于
|
f
⟩
{\displaystyle |f\rangle }
e
−
Γ
i
→
f
t
{\displaystyle e^{-\Gamma _{i\rightarrow f}t}}
推导公式的标准方法是从含时摄动理论开始，并假设测量时间远大于实际跃迁所需时间，对吸收率（作为时间
t
{\displaystyle t}
t
→
∞
{\displaystyle t\rightarrow \infty }
[ 5] [ 6]
More information 和摄动量的和，
以含时摄动理论推导
黄金定则是薛定谔方程 解哈密顿量最低阶摄动H' H0
H
=
H
0
+
H
′
{\displaystyle H=H_{0}+H'}
相互作用绘景 下，我们可以用未摄动的系统
|
n
⟩
{\displaystyle |n\rangle }
H
0
|
n
⟩
=
E
n
|
n
⟩
{\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }
被摄动的系统的量子态的级数展开在一时间t
|
ψ
(
t
)
⟩
=
∑
n
a
n
(
t
)
e
−
i
E
n
t
/
ℏ
|
n
⟩
{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }
an (t )狄拉克绘景 下用来产生概率幅的未知含时函数。此一量子态遵循含时薛定谔方程:
H
|
ψ
(
t
)
⟩
=
i
ℏ
∂
∂
t
|
ψ
(
t
)
⟩
.
{\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ~.}
展开哈密顿量和量子态到一阶摄动，
(
H
0
+
H
′
−
i
ℏ
∂
∂
t
)
∑
n
a
n
(
t
)
|
n
⟩
e
−
i
t
E
n
/
ℏ
=
0
,
{\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}
En |n ⟩ H 0 的特征值和特征函数 。
此等式可以被重写成一个针对
a
n
(
t
)
{\displaystyle a_{n}(t)}
i
ℏ
d
a
k
(
t
)
d
t
=
∑
n
⟨
k
|
H
′
|
n
⟩
a
n
(
t
)
e
i
t
(
E
k
−
E
n
)
/
ℏ
.
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}
此等式相当简洁但实际上无法普通地解开。
对于一个施加在t H'
i
{\displaystyle i}
H
′
=
0
{\displaystyle H'=0}
a
n
(
t
)
=
δ
n
,
i
{\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}
i
{\displaystyle i}
对于
k
≠
i
{\displaystyle k\neq i}
H
′
≠
0
{\displaystyle H'\neq 0}
a
k
(
t
)
≠
0
{\displaystyle a_{k}(t)\neq 0}
a
n
(
t
)
=
δ
n
,
i
{\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}
a
k
(
t
)
{\displaystyle a_{k}(t)}
i
ℏ
d
a
k
(
t
)
d
t
=
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
e
i
t
(
E
k
−
E
i
)
/
ℏ
,
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} a_{k}(t)}{\mathrm {d} t}}=\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}
经过积分后，
i
ℏ
a
k
(
t
)
=
2
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
e
i
ω
t
/
2
sin
ω
t
/
2
ω
{\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=2\langle k|H'|i\rangle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega t/2}{\frac {\sin \omega t/2}{\omega }}}
对于
ω
≡
(
E
k
−
E
i
)
/
ℏ
{\displaystyle \omega \equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }
ai (0)ak (0)ak (t )
k
≠
i
{\displaystyle k\neq i}
跃迁速率是
Γ
i
→
k
=
d
d
t
|
a
k
(
t
)
|
2
=
2
|
⟨
k
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ℏ
2
sin
ω
t
ω
,
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left|a_{k}(t)\right|^{2}={\frac {2|\langle k|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar ^{2}}}{\frac {\sin \omega t}{\omega }},}
一个对于小 ω
ω
=
0
{\displaystyle \omega =0}
sin
(
ω
t
)
/
ω
=
t
{\displaystyle \sin(\omega t)/\omega =t}
|
k
⟩
{\displaystyle |k\rangle }
t
对于连续分布在能量E ρ (E )ω
Γ
i
→
f
=
2
ℏ
∫
−
∞
∞
d
ω
ρ
(
ω
)
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
sin
ω
t
ω
.
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega \rho (\omega )|\langle f|H'|i\rangle |^{2}{\frac {\sin \omega t}{\omega }}~.}
考虑很长一段时间，sinc函数在ω [−π /t , π /t ]
Γ
i
→
f
=
2
ρ
|
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
|
2
ℏ
∫
−
∞
∞
d
ω
sin
ω
t
ω
{\displaystyle \Gamma _{i\rightarrow f}={\frac {2\rho |\langle f|H'|i\rangle |^{2}}{\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} \omega {\frac {\sin \omega t}{\omega }}}
只正比于狄利克雷积分 ，常数π
“含时的部分消失了”，黄金定则是“常数衰变率”。[ 7] 粒子衰变 。（然而经过相当长的时间后只要a k a i ak (t )
Close
只有矩阵元素
⟨
f
|
H
′
|
i
⟩
{\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }
玻尔兹曼方程 方法。[ 8]
偶极子的放射图案和总功率（正比于衰变率）依赖于与镜子的距离。 费米黄金定则预测了激发态根据态密度的衰变概率。实验上这一现象可借由测量镜子附近的偶极子的衰变律：当镜子创造出高低态密度的区域时，测量到的衰变率由镜子和偶极子之间的距离决定。[ 10] [ 11]
It is remarkable in that the rate is constant and not linearly increasing in time, as might be naively expected for transitions with strict conservation of energy enforced. This comes about from interference of oscillatory contributions of transitions to numerous continuum states with only approximate unperturbed energy conservation, cf. Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , pp. 150-151. Merzbacher, Eugen. 19.7 (PDF) . Quantum Mechanics 3rd. Wiley, John & Sons, Inc. 1998 [2019-11-09 ] . ISBN 978-0-471-88702-7存档 (PDF) 于2016-03-04）. K. H. Drexhage, H. Kuhn, F. P. Schäfer. Variation of the Fluorescence Decay Time of a Molecule in Front of a Mirror. BERICHTE DER BUNSEN-GESELLSCHAFT FUR PHYSIKALISCHE CHEMIE. 1968, 72 : 329. doi:10.1002/bbpc.19680720261 
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