相互作用绘景

在量子力学里，相互作用绘景（interaction picture），是在薛定谔绘景与海森堡绘景之间的一种表述，为纪念物理学者保罗·狄拉克而又命名为狄拉克绘景。在这绘景里，描述量子系统的态矢量与表达可观察量的算符都会随着时间流易而演化。有些实际案例会涉及到因相互作用而使得量子态与可观察量发生改变，这类案例通常会使用狄拉克绘景。

保罗·狄拉克

狄拉克绘景与薛定谔绘景、海森堡绘景不同。在薛定谔绘景里，描述量子系统的态矢量随着时间流易而演化。在海森堡绘景里，表达可观察量的算符会随着时间流易而演化。

这三种绘景殊途同归，所获得的结果完全一致。这是必然的，因为它们都是在表达同样的物理行为。^{[1]:80-84[2][3]}

定义

为了便利分析，位于下标的符号${\displaystyle {}_{\mathcal {H}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {I}}}$、${\displaystyle {}_{\mathcal {S}}}$分别标记海森堡绘景、狄拉克绘景、薛定谔绘景。

通过对于基底的一种幺正变换（英语：unitary transformation），算符和态矢量在狄拉克绘景里的形式与在薛定谔绘景里的形式相关联。

在量子力学里，对于大多数案例的哈密顿量，通常无法找到薛定谔方程的精确解，只有少数案例可以找到精确解。因此，为了要能够解析其它没有精确解的案例，必须将薛定谔绘景里的哈密顿量${\displaystyle H_{\mathcal {S}}\,\!}$分成两个部分，^[1]:337-339

${\displaystyle H_{\mathcal {S}}=H_{0,\,{\mathcal {S}}}+H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$有精确解，有广泛知悉的物理行为，而${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$则通常没有精确解，是对于系统的摄动。

假若哈密顿量${\displaystyle H_{\mathcal {S}}\,\!}$含时（例如，感受到时变外电场作用的量子系统，其哈密顿量会含时），则通常会将显性含时部分放在${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$里。这样，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时，而时间演化算符${\displaystyle U(t)\,\!}$的公式可以简单地表示为

${\displaystyle U(t)=e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle t\,\!}$是时间。

假若对于某些案例，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$应该设定为含时，则时间演化算符的公式会变得较为复杂：^[1]:70-71

${\displaystyle U(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{0}^{t}H_{0,\,{\mathcal {S}}}(t^{'})\,dt^{'}}\,\!}$。

本条目以下内容假设${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时。

态矢量

在狄拉克绘景里，态矢量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$定义为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}{\stackrel {def}{=}}e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$是在薛定谔绘景里的态矢量。

由于在薛定谔绘景里， 态矢量${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$与时间的关系为

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iH_{\mathcal {S}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$，

所以，在${\displaystyle H_{0,{\mathcal {S}}},H_{\mathcal {S}}}$对易的条件下，可以有

${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{-iH_{1,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}\,\!}$。

算符

在狄拉克绘景里的算符${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$定义为

${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

其中，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$是在薛定谔绘景里对应的算符。

（请注意，${\displaystyle A_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$通常不含时间，可以重写为${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$。反例，对于时变外电场的状况，哈密顿算符${\displaystyle H_{\mathcal {S}}(t)\,\!}$含时。）

哈密顿算符

假若${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$不含时，则${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$ 对易，不论在薛定谔绘景里或在狄拉克绘景里，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$的形式都是一样：^{[注 1]}

${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }=H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$。

所以，算符${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$都可以简略标记为${\displaystyle H_{0}\,\!}$，不会造成歧意。

哈密顿算符的摄动成分${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$是

${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$；

除非对易关系式${\displaystyle [H_{1,\,{\mathcal {S}}},H_{0,\,{\mathcal {S}}}]=0\,\!}$，在狄拉克绘景里，${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$含时。

密度矩阵

与算符类似，在薛定谔绘景里的密度矩阵也可以变换到在狄拉克绘景里。设定${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}\,\!}$和${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}\,\!}$分别为在狄拉克绘景里和在薛定谔绘景里的密度矩阵。假若，处于量子态${\displaystyle |\psi _{n}\rangle \,\!}$的概率是${\displaystyle p_{n}\,\!}$，则

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\mathcal {I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {I}}\,{}_{\mathcal {I}}\langle \psi _{n}(t)|\\&=\sum _{n}p_{n}\,e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }|\psi _{n}(t)\rangle _{\mathcal {S}}\,{}_{\mathcal {S}}\langle \psi _{n}(t)|e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\&=e^{iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(t)\,e^{-iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\\\end{aligned}}\,\!}$。

时间演化方程

本文以下内容，算符${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$与${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {I}}}\,\!}$都简略标记为${\displaystyle H_{0}\,\!}$。^[1]:337-339

量子态的时间演化

从态矢量的定义式，可以得到态矢量对于时间的导数是

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }\left[-H_{0}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}+H_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\right]\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}\\&=e^{iH_{0}\,t/\hbar }H_{1,\,{\mathcal {S}}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\\\end{aligned}}}$

将算符的定义式代入，可以得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=H_{1,\,{\mathcal {I}}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}\,\!}$。

这是施温格-朝永振一郎方程（英语：Schwinger-Tomonaga equation）的一个较为简单的形式。^[4]:153-155

算符的时间演化

假若算符${\displaystyle A_{\mathcal {S}}\,\!}$不含时，则其对应的${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)\,\!}$的时间演化为

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {I}}(t)&=i\hbar {\frac {d}{dt}}(e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar })\\&=-H_{0}\,e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }+e^{iH_{0}\,t/\hbar }A_{\mathcal {S}}\,e^{-iH_{0}\,t/\hbar }H_{0}\\&=A_{\mathcal {I}}(t)H_{0}-H_{0}A_{\mathcal {I}}(t)\\&=\left[A_{\mathcal {I}}(t),\,H_{0}\right]\\\end{aligned}}\,\!}$。

这与在海森堡绘景里，算符${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)\,\!}$的时间演化类似：

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\mathcal {H}}(t)=\left[A_{\mathcal {H}}(t),\,H\right]\,\!}$。

密度矩阵的时间演化

应用施温格-朝永振一郎方程于密度矩阵，则可得到

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho _{\mathcal {I}}(t)=\left[H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t),\rho _{\mathcal {I}}(t)\right]\,\!}$。

狄拉克绘景的应用

应用狄拉克绘景的目的是促使${\displaystyle H_{0}\,\!}$与时间无关，只有${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)\,\!}$与时间有关，也只有${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {I}}}(t)\,\!}$控制态矢量随时间流易的演化行为。

假若${\displaystyle H_{0}\,\!}$有精确解，而${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}(t)\,\!}$是一个弱小的摄动，则可很便利地采用狄拉克绘景，使用时变摄动理论来计算${\displaystyle H_{1,\,{\mathcal {S}}}(t)\,\!}$所产生对于整个系统的影响。例如，在费米黄金定则的导引里^{[1]:359–363}，或在推导戴森级数（英语：Dyson series）时^{[1]:355–357}，通常都会用到狄拉克绘景。

各种绘景比较摘要

各种绘景随着时间流易会呈现出不同的演化：^{[1]:86-89, 337-339}

演化	海森堡绘景	相互作用绘景	薛定谔绘景
右矢	常定	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {I}}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}}$	${\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}}$
可观察量	${\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=e^{iHt/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iHt/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{\mathcal {S}}e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	常定
密度算符	常定	${\displaystyle \rho _{\mathcal {I}}(t)=e^{iH_{0}t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0}t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\mathcal {S}}(t)=e^{-iHt/\hbar }\rho _{\mathcal {S}}(0)e^{iHt/\hbar }}$

参阅

• 狄拉克标记
• 朱利安·施温格
• 朝永振一郎

注释

1. 在狄拉克绘景里，${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$也可能含时。假设${\displaystyle H_{0,\,{\mathcal {S}}}\,\!}$含时并且对易，则时间演化算符${\displaystyle U(t)\,\!}$的公式不再是^[1]:70-71

   ${\displaystyle U(t)=e^{\pm iH_{0,\,{\mathcal {S}}}\,t/\hbar }\,\!}$，

   而应改为

   ${\displaystyle U(t)=e^{-i/\hbar \int \limits _{0}^{t}H(t^{'})\,dt^{'}}\,\!}$。

注释

1. Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
2. Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.
3. Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.
4. Ian J R Aitchison; Anthony J.G. Hey. Gauge Theories in Particle Physics: A Practical Introduction, Volume 1: From Relativistic Quantum Mechanics to QED, Fourth Edition. CRC Press. 17 December 2012. ISBN 978-1-4665-1302-0.

参考文献

• Townsend, John S. A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed.. Sausalito, CA: University Science Books. 2000. ISBN 1-891389-13-0.