莱兰数

在数论中，莱兰数是可以表示成 ${\displaystyle x^{y}+y^{x}}$ 的整数，其中 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是大于 ${\displaystyle 1}$ 的整数^[1]，以数学家保罗·莱兰（英语：Paul Leyland）为名。前几个莱兰数是：
8，17，32，54，57，100，145，177，320， 368，512，593，945，1124 （OEIS数列A076980）。

${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 都大于 ${\displaystyle 1}$ 的要求很重要。如果没有这个要求，每个正整数都可写成 ${\displaystyle 1^{x}+x^{1}}$ 而成为莱兰数。而由于加法的交换律，通常也会加上 ${\displaystyle y\leq x}$ 这个条件，以免重复列入同一数字。

莱兰质数

莱兰质数是指同时是莱兰数也质数的整数。前几个这样的质数是：
17，593，32993，2097593，8589935681，59604644783353249，523347633027360537213687137，43143988327398957279342419750374600193，... （OEIS数列A094133）

第二类莱兰质数

第二类莱兰数 是指可以写成 ${\displaystyle x^{y}-y^{x}}$ 的整数，其中其中 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是大于 ${\displaystyle 1}$ 的整数。

第二种莱兰质数，是指同时是第二种莱兰数也是质数的整数。前几个这样的质数是：
7，17，79，431，58049，130783，162287，523927，2486784401，6102977801，8375575711，13055867207，83695120256591，375700268413577，2251799813682647，... （OEIS数列A123206）

其他可能的第二种莱兰质数，请见由Henri Lifchitz和Renaud Lifchitz建立的PRP Top Records中搜寻^[2]。

参考资料

1. Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. Springer. 2005 [2019-08-10]. ISBN 978-0-387-25282-7. doi:10.1007/0-387-28979-8. （原始内容存档于2019-08-10）.
2. Lifchitz, Henri; Lifchitz, Renaud. PRP Top Records. 2019-08-09 [2019-08-10]. （原始内容存档于2018-06-16） （英语）.