良序定理

在数学中，良序定理（英语：Well-ordering theorem），或称 Zermelo 定理，表示“所有集合都可以被良排序”。一集合 ${\displaystyle X}$ 被一个严格全序所良排序，如若对任意 ${\displaystyle X}$ 之非空子集，在该序关系下均蕴含一个最大元。所有与选择公理等价之命题，良序定理同 Zorn 引理 乃最重要的两个陈述。该定理相当重要，超限归纳法借由该定理方可作用于任意集合。

历史

Cantor 认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现，找到如实数集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 这样的良序集合并非那么容易。在1904年，Gyula Kőnig（英语：Julius König） 声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，Felix Hausdorff 在他的证明中发现了一个错误。在此之后，Ernst Zermelo 引入了 “无可非议” 的选择公理，以证明良序定理^[1]。事实上在一阶逻辑下，良序定理等价于选择公理，其中一个和 Zermelo-Frankel 集合论一起即可证明另一个；在二阶逻辑下良序定理略强于选择公理。

良序定理可给出似乎是悖论的推论，比如 Banach-Tarski 悖论。

关于选择公理、Zorn 引理、良序定理，下面这句玩笑话在某种程度上说明了其直觉上之联系：

“选择公理显然为真，而良序原理显然为假，那谁来说说 Zorn 引理？”^[2]

从选择公理证明良序定理

证明如下。^[3]

设有欲良排序之任意集合 ${\displaystyle A}$，令 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle A}$ 非空子集族的选择函数。对任意序数 ${\displaystyle \alpha }$，定义 ${\displaystyle A}$ 中的元 ${\displaystyle a_{\alpha }}$ 为 ${\displaystyle a_{\alpha }=f\left(A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}\right)}$ 当 ${\displaystyle A\backslash \left\{a_{\xi }\colon \xi <\alpha \right\}}$ 非空，否则使 ${\displaystyle a_{\alpha }}$ 未定义。此时，${\displaystyle a_{\alpha }}$ 选择自 ${\displaystyle A}$ 之元素所构成的集合，而尚未被排序（或者因为 ${\displaystyle A}$ 已然完全枚举而未被定义）。接下来，定义 ${\displaystyle A}$ 上的序关系 ${\displaystyle <}$ 以 ${\displaystyle a_{\alpha }<a_{\beta }}$ 当且仅当 ${\displaystyle \alpha <\beta }$（在序数间通常的良序下），此即所需之 ${\displaystyle A}$ 上的良序，序类型 ${\displaystyle \sup \left\{\alpha \colon a_{\alpha }{\mbox{ is defined}}\right\}}$。

从良序定理证明选择公理

证明如下。

为构建非空集之集族 ${\displaystyle E}$ 上之选择函数，对该集族取并为 ${\displaystyle X=\bigcup _{A\in E}A}$。${\displaystyle X}$ 存在良序；设该序关系为 ${\displaystyle R}$。对每个 ${\displaystyle E}$ 中的元 ${\displaystyle S}$，规定选择函数映之于 ${\displaystyle S}$ 中在序关系 ${\displaystyle R}$ 下的最大元。这样就得到了所需的选择函数。

证明中，一个必不可少的点在于，证明仅涉及唯一一个任意选择，即 ${\displaystyle R}$；分别于 ${\displaystyle E}$ 的每个元 ${\displaystyle S}$ 应用良序定理并不一定可行，因为良序定理仅声明了良序之存在性，而为每个 ${\displaystyle S}$ 赋予良序将要求简单地对每个 ${\displaystyle S}$ 选择出一个元那么多的选择。特别地，如果 ${\displaystyle E}$ 拥有不可数那么多的集合，不借由选择公理，进行不可数次的选择在 ZF 集合论下不被允许。

参见

• 良序关系
• 选择公理
• 佐恩引理

1. Thierry; Vialar. Handbook of Mathematics. Norderstedt: Springer. : 23 [2024-11-03]. ISBN 978-2-95-519901-5. （原始内容存档于2023-05-16）.
2. Krantz, Steven G., The Axiom of Choice, Krantz, Steven G. (编), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science, Birkhäuser Boston: 121–126, 2002, ISBN 9781461201151, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9 （英语）
3. Jech, Thomas. Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. 2002: 48. ISBN 978-3-540-44085-7.