算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

例如：${\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}}$，${\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}}$，${\displaystyle 5207=41\times 127}$。

算术基本定理的内容由两部分构成：

• 分解的存在性：
• 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定理陈述

${\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A}$. 其中 ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}}$ 而且 ${\displaystyle p_{i}}$ 是一个质数，${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}}$.

这种表示的方法存在，而且是唯一的。

证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若质数${\displaystyle p|ab}$，则不是 ${\displaystyle p|a}$，就是${\displaystyle p|b}$。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

存在性

用反证法：假设存在大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为 ${\displaystyle n}$。

${\displaystyle n}$ 不可为质数，因为 ${\displaystyle n=n}$ 可被写成质数的乘积。因此 ${\displaystyle n}$ 一定是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数的积。设 ${\displaystyle n=a\times b}$ ，则根据假设，由于 ${\displaystyle n}$ 是最小的不能被写成质数乘积的自然数，所以 ${\displaystyle a=p_{1}p_{2}...p_{j}}$ 和 ${\displaystyle b=q_{1}q_{2}...q_{j}}$ 都能被写成质数的乘积。然而 ${\displaystyle n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}}$ 也可以写成质数的乘积，由此产生矛盾，故大于 ${\displaystyle 1}$ 的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理：若质数${\displaystyle p|ab}$，则不是 ${\displaystyle p|a}$，就是${\displaystyle p|b}$。

引理的证明：若${\displaystyle p|a}$ 则证明完毕。若${\displaystyle p\nmid a}$，那么两者的最大公约数为1。根据贝祖等式，存在${\displaystyle (m,n)}$ 使得${\displaystyle ma+np=1}$。于是${\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp}$。 由于${\displaystyle p|ab}$，上式右边两项都可以被p整除。所以${\displaystyle p|b}$。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设${\displaystyle n}$是其中最小的一个。

首先${\displaystyle n}$不是质数。将${\displaystyle n}$用两种方法写出：${\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$ 。根据引理，质数${\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$ ，所以${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}}$ 中有一个能被${\displaystyle p_{1}}$整除，不妨设为${\displaystyle q_{1}}$。但${\displaystyle q_{1}}$也是质数，因此${\displaystyle q_{1}=p_{1}}$ 。所以，比${\displaystyle n}$小的正整数${\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}}$也可以写成${\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}}$ 。这与${\displaystyle n}$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

相关

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )}$ 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 ${\displaystyle D}$ 是 ${\displaystyle D=163}$。例如，${\displaystyle 6}$可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 ${\displaystyle (\pm 1,\pm i)}$ 之作用，那么这个唯一分解定理在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

高斯类数

对于二次方程：${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)}$，它的根可以表示为： ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}}$

因为负数不能开平方，${\displaystyle b^{2}-4ac}$的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163}$ 两个复数解为: ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}}$

${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$哪个${\displaystyle d}$值可以得到唯一分解定理？ ${\displaystyle d=1,2,3}$皆可得到定理，但当${\displaystyle d=5}$时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 ${\displaystyle 6=2\times 3}$；${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。在高斯时代，已知有9个${\displaystyle d}$使得${\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}}$所产生的数有唯一因子分解（${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$如上面指出那样取值）。 ${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}$高斯认为${\displaystyle d}$的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个${\displaystyle d}$值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部链接

• （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于互联网档案馆）