皮卡德群

提示：此条目的主题不是Picard modular group。

数学中，环空间X的皮卡德群，是在X上可逆层（或线丛）的同构类组成群，记作${\displaystyle Pic(X)}$。此群的群运算为张量积。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或理想类群的广域(global)版本, 这种构造在代数几何和复流形理论中广泛使用。

此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

对于积分概形, 皮卡德群同构于Cartier 因数的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为皮卡德在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

例子

• 一个戴德金整环的谱的皮卡德群是这个戴尔金整环的理想类群。
• 如果${\displaystyle K}$ 是一个域，那么其射影空间 ${\displaystyle P^{n}(K)}$上的可逆层是扭转层${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\,}$所以${\displaystyle P^{n}(K)}$的皮卡德群同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$。
• 在${\displaystyle K}$上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于${\displaystyle \mathbb {Z} }$。
• ${\displaystyle n}$维复仿射空间的皮卡德群： ${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

并且因为${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ^[1]

因为${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$是可收缩的 所以我们可以得出 ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$，那么${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$

由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算:${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$

皮卡德概形

我们可以在在皮卡德群（的可表示函子版本）上构造概形结构，即皮卡德概形，是代数几何中的重要工具，特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由Grothendieck (1962)构建，并由Mumford (1966)和Kleiman (2005)描述。

相关条目

• 层上同调
• Cartier除子
• 全纯线丛
• 理想类群
• 阿拉克洛夫级群
• 组栈
• 皮卡德范畴