理想类群

理想类群（英语：Ideal class group）是代数数论的基本对象之一，简称类群。

一个代数数域K的理想类群是形如 J_K /P_K 的商群; 此处J_K 是代数数域K的整数环的所有分式理想构成的群; 而P_K是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。
理想类群在一定程度上可以测量K的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域K的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

形式定义

设 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ 为戴德金整环。此时 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ 中的非零理想对乘法构成一个交换幺半群。

今将定义其上的等价关系：设 ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ 为二非零理想，定义

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\Leftrightarrow \exists s,t\in {\mathcal {O}}^{\times }\;(s){\mathfrak {a}}=(t){\mathfrak {b}}}$

理想幺半群对此关系的商构成一个交换群 ${\displaystyle \mathrm {Cl} ({\mathcal {O}})}$，称为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ 的理想类群。

另一套进路是考虑 ${\displaystyle {\mathfrak {O}}}$ 的非零分式理想构成之交换群，再考虑它对主分式理想 ${\displaystyle \{(q):q\in K^{\times }\}}$ 之商，由此得到的对象自然同构于理想类群。

性质

• 理想类群为平凡群的充要条件是该戴德金整环为主理想环。
• 设 ${\displaystyle K}$ 为数域，${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 为其中的代数整数环，因而是戴德金整环。此时可证明 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 是有限群。其元素个数记为 ${\displaystyle h_{K}}$，称作类数。

例子

考虑二次域 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$。考虑理想

${\displaystyle J=(2,1+{\sqrt {-5}})}$。

易证此非主理想，因此理想类群非零。事实上，其理想类群是二阶循环群。